Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de substituição trigonométrica, verificar:
integral x^2raiz21+4 x-x^2 d x=332 arcsen(x-25)-(x+62) raiz21+4 x-x^2+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar a igualdade
integral x^2raiz21+4x - x^2,dx = 332,arcsen!l(x-25r) - x+62,raiz21+4x - x^2+C
ou seja, mostrar que a derivada do lado direito é exatamente tfracx^2raiz21+4x - x^2.

Passo 2

Defina
F(x)=332,arcsen!l(x-25r) e G(x)=-x+62,raiz21+4x - x^2
Vamos achar F'(x) e G'(x) separadamente.
Para F(x), usando ddxl[arcsen(u)r]=u'raiz1-u^2:
u=x-25 Longrightarrow u'=15, 1-u^2=1-(x-2)^225=25-(x-2)^225=21+4x - x^225
Logo,
F'(x) =332,1/5raiz21+4x - x^225 =3310,5raiz21+4x - x^2 =332,1raiz21+4x - x^2

Passo 3

Para G(x)=-tfracx+62,raizD onde D=21+4x - x^2, use produto u,v:
u=-x+62, u'=-12, v=raizD, v'=12raizD,(4-2x)
Então
G'(x)=u',v + u,v' =-12,raizD -x+62,4-2x2raizD =-raizD2 -(x+6)(4-2x)4raizD
Note que (x+6)(4-2x)=-2x^2-8x+24. Assim
G'(x) =-raizD2 --2x^2-8x+244raizD =-raizD2 +2x^2+8x-244raizD =2x^2+8x-24-2D4raizD
Como 2D=2(21+4x - x^2)=42+8x-2x^2, fica
G'(x) =2x^2+8x-24-(42+8x-2x^2)4raizD =4x^2-664raizD =2x^2-332raizD

Passo 4

Somando F'(x)+G'(x):
F'(x)+G'(x) =332raizD +2x^2-332raizD =33+2x^2-332raizD =2x^22raizD =x^2raizD,
onde recorde D=21+4x - x^2. Isso é exatamente o integrando.

Resposta

A igualdade está correta.

Exercícios relacionados