Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de frações parciais, verificar:
integral d x(x^2+2 x+5)^3=2 x+2(x^2+2 x+5)^2+3(x+1)4(x^2+2 x+5)+38 arctg(x+12)+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar se é verdade que
integral dxl(x^2+2x+5r)^3 = 2x+2l(x^2+2x+5r)^2 +3(x+1)4l(x^2+2x+5r) +38arctan!gl(x+12gr) +C
Para isso, vamos diferenciar o lado direito e ver se obtemos 1/(x^2+2x+5)^3.

Passo 2

Definimos
u=x+1, D = x^2+2x+5 = u^2+4
Reescrevendo o suposto primitivo:
F(x) = 2uD^2 +3u4,D +38arctan!l(tfrac u2r)

Passo 3

Calculamos F'(x) termo a termo, lembrando que u'=1 e D'=2u.
  1. Para F1=2u,D^-2:
F1' =2cdot D^-2 +2ucdot(-2)D^-3,(2u) = 2D^2-8u^2D^3
  1. Para F2=tfrac34,u,D^-1:
F2' =tfrac34l(1D+ucdot(-1)D^-2(2u)r) =34D-3u^22D^2
  1. Para F3=tfrac38arctan(u/2):
F3' =38cdot11+(u/2)^2cdottfrac12 =34D
Somando tudo:
F'(x) =l(tfrac2D^2-tfrac8u^2D^3r) +l(tfrac34D-tfrac3u^22D^2r) +34D

Passo 4

Colocando tudo sobre D^3 e juntando termos, obtém–se
F'(x) =32D^3 ;=;32;1(x^2+2x+5)^3
Ou seja, ao invés de recuperar exatamente tfrac1(x^2+2x+5)^3, aparece um fator extra 32.

Passo 5

Concluímos que a derivada do lado direito é
,32l[(x^2+2x+5)^-3r],
não (x^2+2x+5)^-3. Logo a igualdade proposta não é válida.

Resposta

A igualdade dada não é válida.
O antiderivado correto é
integral dx(x^2+2x+5)^3 =132gl[ 2x+2(x^2+2x+5)^2 +3(x+1)4,(x^2+2x+5) +38arctan!gl(x+12gr) gr] + C,
que, simplificando, dá
x+116,(x^2+2x+5)^2 +3(x+1)128,(x^2+2x+5) +3256arctan!gl(x+12gr) + C

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