Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de frações parciais, verificar:
integral x^2-3 x+7(2 x+3)(x+1)^2 d x=3x+1+ln |x+1|-12 ln |2 x+3|+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar se vale a igualdade
integral x^2-3x+7(2x+3)(x+1)^2,dx =3x+1+lnl|x+1r|-12lnl|2x+3r|+C
Vamos usar o método de frações parciais para computar a integral à esquerda e comparar com o lado direito.

Passo 2

Decompondo em frações parciais, buscamos constantes A, B e C tais que
x^2-3x+7(2x+3)(x+1)^2 =A2x+3+Bx+1+C(x+1)^2
Multiplicando ambos os lados por (2x+3)(x+1)^2, obtemos
x^2-3x+7 = A,(x+1)^2+B,(2x+3)(x+1)+C,(2x+3)
Expandindo:
A(x^2+2x+1)+B(2x^2+5x+3)+2Cx+3C = (A+2B),x^2+(2A+5B+2C),x+(A+3B+3C)
Comparando coeficientes com x^2-3x+7, vem o sistema
A+2B=1, 2A+5B+2C=-3, A+3B+3C=7
Resolvendo, achamos
A=55, B=-27, C=11

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
integral552x+3,dx = 552lnl|2x+3r|, integral-27x+1,dx = -27lnl|x+1r|, integral11(x+1)^2,dx = -11x+1
Logo a antiderivada geral é
-11x+1-27lnl|x+1r|+552lnl|2x+3r|+C

Passo 4

Compare este resultado com o proposto
3x+1+ln|x+1|-tfrac12ln|2x+3|+C.
Os coeficientes de tfrac1x+1, de ln|x+1| e de ln|2x+3| não coincidem. Portanto a igualdade dada não é válida.

Resposta

A igualdade não é válida.

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