Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
Usando o método de frações parciais, verificar:
integral 4 x^2+9 x-1x^3+2 x^2-x-2 d x=ln |(x+1)^3(x-1)^2x+2|+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade da integral de uma função racional usando frações parciais:
integral 4x^2+9x-1x^3+2x^2-x-2,dx ;=; lnl|(x+1)^3(x-1)^2x+2r|+C
O conteúdo usado é fatoração de polinômios, decomposição em frações parciais e integração de tfrac1x+a.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:
x^3+2x^2-x-2 = (x^2-1)(x+2) = (x-1)(x+1)(x+2)
Logo, propomos a decomposição
4x^2+9x-1x^3+2x^2-x-2 = Ax+2+Bx-1+Cx+1

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por
Expandindo:
Isto gera o sistema
Resolvendo: , .

Passo 4

Substituindo na integral:
integral 4x^2+9x-1x^3+2x^2-x-2,dx = integrall(-1x+2+2x-1+3x+1r),dx
Integrando termo a termo:
-ln|x+2|+2ln|x-1|+3ln|x+1|+C

Passo 5

Reagrupando os logaritmos:
-ln|x+2|+2ln|x-1|+3ln|x+1| = lnl|(x-1)^2(x+1)^3x+2r|+C,
que coincide exatamente com o enunciado.

Resposta

A identidade é válida.

Exercícios relacionados