Verificar as seguintes igualdades:
1.) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n 2^{n}}=\ln \left(\frac{3}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a série infinita
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,2^{n}}
é igual a \ln\bigl(\tfrac32\bigr). O conteúdo envolvido é a expansão em série de potências da função logarítmica natural.

Passo 2

Lembramos que, para -1<x\le1, a série de Taylor de \ln(1+x) centrada em 0 é
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{x^{n}}{n}.
Essa fórmula vem da integração termo a termo da série de potência de \tfrac1{1+x}.

Passo 3

Para que possamos usar essa expansão, precisamos de |x|\le1. No nosso caso, vamos escolher
x=\tfrac12,
que satisfaz -1<x\le1. Assim a expansão converge.

Passo 4

Substituindo x=\tfrac12 na série de \ln(1+x), obtemos
\ln\bigl(1+\tfrac12\bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{\bigl(\tfrac12\bigr)^{n}}{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,2^{n}}.
Como 1+\tfrac12=\tfrac32, chegamos a
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,2^{n}} =\ln\bigl(\tfrac32\bigr).

Resposta

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,2^{n}}=\ln\!\bigl(\tfrac32\bigr).

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