Verificar as seguintes igualdades:
2.) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 2^{n}}{n 5^{n}}=\ln \left(\frac{7}{5}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}2^{n}}{n\,5^{n}}
é igual a \ln\!\bigl(\tfrac{7}{5}\bigr). O conteúdo da matéria é a expansão em série de potências de \ln(1+x), válida para |x|<1.

Passo 2

Recordamos a expansão em série de Taylor de \ln(1+x) em torno de x=0:
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n}, \quad\text{para }|x|<1.

Passo 3

Na série dada, note que
\frac{(-1)^{n+1}2^{n}}{n\,5^{n}} =(-1)^{n+1}\frac{(2/5)^{n}}{n}.
Logo, podemos identificar x=2/5, que satisfaz |x|<1.

Passo 4

Aplicando a fórmula de \ln(1+x) com x=2/5, obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{(2/5)^{n}}{n} =\ln\!\Bigl(1+\tfrac{2}{5}\Bigr) =\ln\!\bigl(\tfrac{7}{5}\bigr).

Resposta

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}2^{n}}{n\,5^{n}} =\ln\!\bigl(\tfrac{7}{5}\bigr).

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