Verificar as seguintes igualdades:
2.) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 2^{n}}{n 5^{n}}=\ln \left(\frac{7}{5}\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}2^{n}}{n\,5^{n}} = \ln\!\bigl(\tfrac{7}{5}\bigr).
O conteúdo principal aqui é a série de Taylor de \ln(1+x).

Passo 2

Lembramos que, para \lvert x\rvert\le1 (excluindo x=-1), vale a expansão
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n} \;=\;\ln(1+x).
Isso decorre da integração termo a termo da série de \frac1{1+x}.

Passo 3

No nosso caso observamos que
\frac{2^{n}}{5^{n}} = \Bigl(\tfrac{2}{5}\Bigr)^{n}
e portanto a série dada é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}2^{n}}{n\,5^{n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\Bigl(\tfrac{2}{5}\Bigr)^{n}.
Basta então usar x=\tfrac{2}{5} na expansão de \ln(1+x):
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\Bigl(\tfrac{2}{5}\Bigr)^{n} =\ln\bigl(1+\tfrac{2}{5}\bigr) =\ln\!\bigl(\tfrac{7}{5}\bigr).

Resposta

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}2^{n}}{n\,5^{n}} = \ln\!\bigl(\tfrac{7}{5}\bigr).

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