Determine d y / d x usando derivação implícita.
tan ^3(x y^2+y)=x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação implícita
tan^3l(xy^2+yr)=x
e pede dydx. O conteúdo envolve regra da cadeia (duas vezes, para o cubo e para a tangente), derivação implícita e regra do produto em xy^2.

Passo 2

Definimos
u = xy^2+y
e reescrevemos a equação como tan^3(u)=x. Aplicamos d/dx em ambos os lados:
ddxl[tan^3(u)r] ;=;ddx[x]

Passo 3

No lado esquerdo usamos a regra da cadeia para potência e para a tangente:
ddxl[tan^3(u)r] =3,tan^2(u),ddx[tan(u)] =3,tan^2(u),sec^2(u),dudx
No lado direito temos ddx[x]=1.

Passo 4

Calculamos dudx para u=xy^2+y. Em xy^2 aplicamos produto e em y derivada implícita:
dudx =ddx[xcdot y^2]+ddx[y] =l(y^2+xcdot2y,y'r)+y' =y^2+(2xy+1),y'

Passo 5

Substituímos em
3,tan^2(u),sec^2(u),dudx=1
para obter
3,tan^2(u),sec^2(u),l(y^2+(2xy+1)y'r)=1

Passo 6

Isolamos y':
3tan^2(u)sec^2(u),y^2 +3tan^2(u)sec^2(u),(2xy+1)y'=1
3tan^2(u)sec^2(u),(2xy+1),y' =1-3tan^2(u)sec^2(u),y^2
y' =1-3tan^2(u)sec^2(u),y^2 3tan^2(u)sec^2(u),(2xy+1),
lembrando u=xy^2+y.

Resposta

boxed dydx =1-3,y^2,tan^2l(xy^2+yr),sec^2l(xy^2+yr) 3,tan^2l(xy^2+yr),sec^2l(xy^2+yr),(2xy+1)

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