Para verificar se as séries abaixo converge ou diverge use um dos critérios de convergência: a) Critério da raiz b) Critério da razão c) Critério da comparação d) Critério da comparação no limite e) Critério da integral d) Critério do termo geral f) Critério para série alternada g) Critério da convergência absoluta h) “Critério da Série geométrica”
Observação 1. Tem uma série para cada critério, não repetir o critério usado.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 n^2n^3+4

Passo 1

O enunciado apresenta a série
sumn=1^infty(-1)^n+1n^2n^3+4
Como ela alterna de sinal, vamos aplicar o Critério para série alternada (Leibniz). Para isso definimos
bn = n^2n^3+4
e precisamos verificar que bn>0, que (bn) é decrescente a partir de algum n e que limntoinftybn=0.

Passo 2

Verificação da monotonicidade de (bn). Considere a função contínua
f(x)=x^2x^3+4, x>0
A derivada é
f'(x) =2x(x^3+4)-x^2cdot3x^2(x^3+4)^2 =-x^4+8x(x^3+4)^2 =x(-x^3+8)(x^3+4)^2
Para x>2 temos -x^3+8<0, logo f'(x)<0. Assim, para todo n>=3,
bn+1=f(n+1)<= f(n)=bn,
ou seja, (bn) é decrescente a partir de n=3.

Passo 3

Cálculo do limite dos termos:
limntoinftybn =limntoinftyn^2n^3+4 =limntoinfty1n+tfrac4n^2 =0

Passo 4

Como bn>0, (bn) é decrescente a partir de certo n e limntoinftybn=0, pelo Critério de Leibniz a série alternada converge.

Resposta

A série converge (convergência condicional, pelo Critério para série alternada).

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