Para verificar se as séries abaixo converge ou diverge use um dos critérios de convergência: a) Critério da raiz b) Critério da razão c) Critério da comparação d) Critério da comparação no limite e) Critério da integral d) Critério do termo geral f) Critério para série alternada g) Critério da convergência absoluta h) “Critério da Série geométrica”
Observação 1. Tem uma série para cada critério, não repetir o critério usado.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge, escolhendo um critério de convergência distinto para cada série da lista. Aqui vamos usar o critério para série alternada (Leibniz). Para aplicá-lo, precisamos mostrar que os termos de sinal alternado têm módulo
positivo, monotonicamente decrescente e com
.
Passo 2
Observe que a série é alternada porque vem o fator
e
para todo
. Logo resta verificar as duas hipóteses restantes do critério de Leibniz, isto é, a monotonicidade decrescente de
e o fato de
.
Passo 3
Para mostrar que
quando
, note que isso equivale a
O lado esquerdo expande para
e o direito para
. A diferença é
que é negativo para todo
. Assim
.
Além disso,
Além disso,
Passo 4
Como
é positiva, decrescente e tende a zero, o critério da série alternada (Leibniz) garante que
converge.
Resposta
A série converge pelo critério para série alternada.