Para verificar se as séries abaixo converge ou diverge use um dos critérios de convergência: a) Critério da raiz b) Critério da razão c) Critério da comparação d) Critério da comparação no limite e) Critério da integral d) Critério do termo geral f) Critério para série alternada g) Critério da convergência absoluta h) “Critério da Série geométrica”
Observação 1. Tem uma série para cada critério, não repetir o critério usado.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 nn^3+1

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty(-1)^n+1nn^3+1
converge ou diverge, escolhendo um critério de convergência distinto para cada série da lista. Aqui vamos usar o critério para série alternada (Leibniz). Para aplicá-lo, precisamos mostrar que os termos de sinal alternado têm módulo an=tfracnn^3+1 positivo, monotonicamente decrescente e com limntoinftyan=0.

Passo 2

Observe que a série é alternada porque vem o fator (-1)^n+1 e an=tfracnn^3+1>0 para todo n. Logo resta verificar as duas hipóteses restantes do critério de Leibniz, isto é, a monotonicidade decrescente de (an) e o fato de limntoinftyan=0.

Passo 3

Para mostrar que an+1<an quando n>=1, note que isso equivale a
n+1(n+1)^3+1<nn^3+1 Long<=ftrightarrow (n+1)(n^3+1)<nl((n+1)^3+1r)
O lado esquerdo expande para n^4+n^3+n+1 e o direito para n^4+3n^3+3n^2+2n. A diferença é
(n^4+n^3+n+1)-l(n^4+3n^3+3n^2+2nr) =-l(2n^3+3n^2+n-1r),
que é negativo para todo n>=1. Assim an+1<an.
Além disso,
limntoinftyan =limntoinftynn^3+1 =limntoinfty1n^2+1/n^2 =0

Passo 4

Como (an) é positiva, decrescente e tende a zero, o critério da série alternada (Leibniz) garante que
sumn=1^infty(-1)^n+1an
converge.

Resposta

A série converge pelo critério para série alternada.

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