Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de M(2,2):
S=[lla & b c & d] ; c=a+b e d=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
S = a & b c & din M(2,2);g|;c=a+b e d=0
é um subespaço de M(2,2). Para isso vamos usar os três critérios clássicos de subespaço:
  1. conter a matriz zero;
  2. ser fechado sob soma;
  3. ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se a matriz zero pertence a S. Tomando a=0 e b=0 temos
c = a + b = 0 + 0 = 0, d = 0,
logo
02times2 = 0 & 0 0 & 0in S

Passo 3

Fechamento sob soma. Sejam
A = a1 & b1 c1 & 0, B = a2 & b2 c2 & 0
em S, isto é c1 = a1 + b1 e c2 = a2 + b2. Então
A+B = a1+a2 & b1+b2 c1+c2 & 0+0 = a1+a2 & b1+b2 (a1+b1)+(a2+b2) & 0
Como (a1+b1)+(a2+b2)=(a1+a2)+(b1+b2), a soma satisfaz as mesmas condições, logo A+Bin S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja lambdainR e
A = a & b a+b & 0in S
Então
lambda A = lambda a & lambda b lambda(a+b) & lambdacdot 0 = lambda a & lambda b lambda a + lambda b & 0,
e vemos que no produto lambda A vale ,c'=lambda a+lambda b e d'=0, logo lambda Ain S.

Resposta

S satisfaz os três critérios de subespaço e portanto é de fato um subespaço vetorial de M(2,2).
Uma descrição mais concreta é
S = l,aE1 + bE2 mid a,binRr,
com
E1 = 1 & 0 1 & 0, E2 = 0 & 1 1 & 0,
mostrando que dim S = 2.

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