Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de M(2,2):
e
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um subespaço de
M(2,2) . Para isso vamos usar os três critérios clássicos de subespaço:
- conter a matriz zero;
- ser fechado sob soma;
- ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se a matriz zero pertence a
S . Tomando
a=0 e
b=0 temos
logo
Passo 3
Fechamento sob soma. Sejam
em
S , isto é
c1 = a1 + b1 e
c2 = a2 + b2 . Então
Como
(a1+b1)+(a2+b2)=(a1+a2)+(b1+b2) , a soma satisfaz as mesmas condições, logo
A+Bin S .
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
lambdainR e
Então
e vemos que no produto
lambda A vale
,c'=lambda a+lambda b e
d'=0 , logo
lambda Ain S .
Resposta
Uma descrição mais concreta é
com
mostrando que
dim S = 2 .