Sejam u=(2,1,0,1,-1) e v=(-2,3,1,0,2). Encontre escalares a e b tais que a u+b v=(-8,8,3,-1,7).
25. Sejam u=(1,-1,3,5) e v=(2,1,0,-3). Encontre escalares a e b tais que a u+b v=(1,-4,9,18).

Passo 1

Temos dois problemas de combinar vetores por escalares. No primeiro, u=(2,1,0,1,-1), v=(-2,3,1,0,2) e queremos au+bv=(-8,8,3,-1,7). No segundo, u=(1,-1,3,5), v=(2,1,0,-3) e buscamos au+bv=(1,-4,9,18). A técnica é igual: equacionar coordenada a coordenada e resolver o sistema linear para a e b.

Passo 2

Para o primeiro vetor, igualamos coordenadas:
2a-2b=-8, a+3b=8, 0a+1b=3, a+0b=-1, -,a+2b=7
Da terceira equação vem b=3. Da quarta vem a=-1. Substituindo esses valores em qualquer outra equação (por exemplo a primeira) confirma-se a consistência.

Passo 3

Para o segundo vetor, as equações são
1cdot a+2cdot b=1, -1cdot a+1cdot b=-4, 3cdot a+0cdot b=9, 5cdot a-3cdot b=18
Da terceira equação obtemos a=3. Da segunda, com a=3, obtemos -3+b=-4Rightarrow b=-1. Verifica-se que essas soluções satisfazem também a primeira e a última equação.

Resposta

Para au+bv=(-8,8,3,-1,7):
a=-1,;b=3
Para au+bv=(1,-4,9,18):
a=3,;b=-1

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