Justifique, usando a definição, que o limite é o número indicado.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a definição
-
, que
Aqui o conteúdo é o conceito de limite de função real pelo critério
-
. Vamos provar que, dado qualquer
, existe
tal que, se
, então
Passo 2
Começamos escrevendo a quantidade que queremos tornar pequena:
Nosso objetivo é encontrar
de<a > 0 de modo que
2,|x|,|x + 1| < varepsilon sempre que
0 < |x + 1| < de<a .
Passo 3
Para controlar o fator
, usamos uma restrição provisória. Se exigirmos
então
está em )) e, portanto, ). Logo, sempre que |<
) temos
Passo 4
Queremos que
4,|x + 1| < varepsilon , isto é,
Para garantir simultaneamente
|x + 1| < 1 e
|x + 1| < varepsilon / 4 , basta escolher
Então, sempre que
0 < |x + 1| < de<a , temos
Resposta
Pelo critério
varepsilon -
de<a , isso prova que