Justifique, usando a definição, que o limite é o número indicado.
lim x -1 2 x^2+2 x-3=-3

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição varepsilon- de<a, que
limxto -1l(2x^2+2x-3r)=-3
Aqui o conteúdo é o conceito de limite de função real pelo critério varepsilon- de<a. Vamos provar que, dado qualquer varepsilon > 0, existe de<a > 0 tal que, se 0 < |x - (-1)| < de<a, então
l|,2x^2 + 2x - 3 - (-3)r| < varepsilon

Passo 2

Começamos escrevendo a quantidade que queremos tornar pequena:
l|,2x^2 + 2x - 3 - (-3)r| = l|2x^2 + 2xr| = 2,|x|,|x + 1|
Nosso objetivo é encontrar de<a > 0 de modo que 2,|x|,|x + 1| < varepsilon sempre que 0 < |x + 1| < de<a.

Passo 3

Para controlar o fator , usamos uma restrição provisória. Se exigirmos
então está em )) e, portanto, ). Logo, sempre que |< ) temos

Passo 4

Queremos que 4,|x + 1| < varepsilon, isto é,
|x + 1| < varepsilon4
Para garantir simultaneamente |x + 1| < 1 e |x + 1| < varepsilon / 4, basta escolher
de<a = minl1,; varepsilon4r
Então, sempre que 0 < |x + 1| < de<a, temos
l|2x^2 + 2x - 3 - (-3)r| <= 4,|x + 1| < 4,de<a <= varepsilon

Resposta

Pelo critério varepsilon- de<a, isso prova que
limx to -1 l(2x^2 + 2x - 3r) = -3

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