Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de M(2,2):
S= [lla & b 0 & c] ; a, b, c in R (matrizes triangulares superiores)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
S = la & b0 & c;;;a,b,cinRr
é um subespaço do espaço vetorial M(2,2).
Conteúdo: teoria de subespaços vetoriais.
Precisamos checar três propriedades:
  1. 0in S.
  2. fechado sob soma.
  3. fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Checar se a matriz nula está em S.
A matriz nula em M(2,2) é
0 = 0 & 00 & 0
Tomando a=b=c=0, temos 0in S.

Passo 3

Fechamento sob soma.
Seja
X = a & b0 & c, Y = a' & b'0 & c'
com X,Yin S. Então
X+Y = a+a' & b+b'0+0 & c+c' = a+a' & b+b'0 & c+c'
Como a+a',b+b',c+c'inR, segue X+Yin S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja lambdainR e
X = a & b0 & cin S
Então
lambda X = lambda a & lambda blambdacdot0 & lambda c = lambda a & lambda b0 & lambda c
Como lambda a,lambda b,lambda cinR, temos lambda Xin S.

Resposta

S é subespaço de M(2,2).

Exercícios relacionados