Verificar o teorema da divergência para
\vec{A}=2 x^{2} \hat{i}-y^{2} \hat{j}+4 x z^{2} \hat{k} tomado sobre a região limitada por
y^{2}+z^{2}=9 e
x=2, no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema da Divergência para o campo
\vec{A}=2 x^{2} \hat{i}-y^{2} \hat{j}+4 x z^{2} \hat{k}
na região do primeiro octante limitada pela superfície cilíndrica y^{2}+z^{2}=9 e pelo plano x=2.
Informações dadas e o que vamos responder:
  • A região V é composta por todos os pontos com 0\le x\le 2, y\ge0, z\ge0 e y^{2}+z^{2}\le9. Ou seja, para cada x fixo entre 0 e 2 temos a região em yz-plano que é um quarto de disco de raio 3.
  • Verificar o Teorema da Divergência significa mostrar que o fluxo total de \vec{A} através da superfície fechada \partial V (orientada para fora) é igual ao integral triplo de \nabla\cdot\vec{A} sobre V:
\iint_{\partial V}\vec{A}\cdot d\vec{S} \;=\; \iiint_{V} (\nabla\cdot\vec{A})\,dV.
  • Vou calcular os dois lados: (A) o integral triplo de \nabla\cdot\vec{A} sobre V; (B) o fluxo através de cada parte da superfície fechada e somar. No final comparo os resultados.

Passo 2

Explicação do Teorema da Divergência (versão usada): para um campo vetorial suficientemente suave \vec{A} definido numa região sólida V com fronteira fechada \partial V, o teorema afirma que a soma das saídas (fluxo) de \vec{A} através de toda a superfície \partial V é igual à soma (integral) da divergência de \vec{A} em todo o volume V:
\iint_{\partial V}\vec{A}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{A})\,dV.
O procedimento prático para verificar: calcular \nabla\cdot\vec{A}, integrar no volume; em seguida calcular fluxos nas superfícies que formam \partial V e somar. Se os dois forem iguais, o teorema está verificado.

Passo 3

Calcular a divergência do campo. A divergência é a soma das derivadas parciais das componentes correspondentes:
\nabla\cdot\vec{A}=\frac{\partial}{\partial x}(2x^{2})+\frac{\partial}{\partial y}(-y^{2})+\frac{\partial}{\partial z}(4x z^{2}).
Agora cada derivada:
\frac{\partial}{\partial x}(2x^{2})=4x,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(-y^{2})=-2y,\qquad \frac{\partial}{\partial z}(4x z^{2})=8xz.
Logo
\nabla\cdot\vec{A}=4x-2y+8xz.

Passo 4

Calcular o integral triplo \displaystyle \iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{A})\,dV.
Descrição do volume e escolha de coordenadas: para cada x entre 0 e 2, a fatia transversal no plano yz é o quarto de disco y\ge0,\;z\ge0,\;y^{2}+z^{2}\le 9. É natural usar coordenadas polares no plano yz: definir
y=r\cos\theta,\qquad z=r\sin\theta,
com 0\le r\le 3 e 0\le\theta\le\pi/2. O elemento de área é dA_{yz}=r\,dr\,d\theta, e o elemento de volume é dV = dA_{yz}\,dx = r\,dr\,d\theta\,dx.
Montando o integral:
\iiint_{V}(4x-2y+8xz)\,dV = \int_{x=0}^{2}\!\int_{\theta=0}^{\pi/2}\!\int_{r=0}^{3} \bigl(4x-2(r\cos\theta)+8x(r\sin\theta)\bigr)\,r\,dr\,d\theta\,dx .

Passo 5

Avaliar o integral triplo em etapas, mostrando cada conta.
Primeiro, distribuir o r:
\bigl(4x-2r\cos\theta+8x r\sin\theta\bigr)r =4x r -2 r^{2}\cos\theta +8x r^{2}\sin\theta.
Integramos em r e \theta primeiro. Separando termos:
  • Para o termo 4x r:
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{3}4x r\,dr\,d\theta =4x\left(\int_{0}^{\pi/2}d\theta\right)\left(\int_{0}^{3} r\,dr\right) =4x\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\frac{3^{2}}{2} =4x\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\frac{9}{2} =9\pi x.
(Interpretação: 4x é constante em r,\theta, então integra-se sobre a área do quarto de disco, que vale \tfrac{1}{4}\pi 3^{2}=\tfrac{9\pi}{4}; multiplicando por 4x obtém-se 4x\cdot\tfrac{9\pi}{4}=9\pi x.)
  • Para o termo -2 r^{2}\cos\theta:
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{3} (-2 r^{2}\cos\theta)\,dr\,d\theta =\left(\int_{0}^{\pi/2} -2\cos\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{3} r^{2}\,dr\right).
Calcular as integrais:
\int_{0}^{3} r^{2}\,dr=\frac{r^{3}}{3}\Big|_{0}^{3}= \frac{27}{3}=9,
\int_{0}^{\pi/2} -2\cos\theta\,d\theta = -2\sin\theta\Big|_{0}^{\pi/2} = -2(1-0)=-2.
Multiplicando: -2\cdot 9 = -18.
  • Para o termo 8x r^{2}\sin\theta:
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{3} 8x r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta =8x\left(\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{3} r^{2}\,dr\right).
Já temos \int_{0}^{3} r^{2}\,dr=9 e \int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta =1. Então este termo dá 8x\cdot 1\cdot 9 =72x.
Somando os três contribuintes (antes de integrar em x):
\iint_{yz\\ \text{(quarto-disco)}}(\dots)\,dA = 9\pi x -18 +72x = x(9\pi+72)-18.
Agora integrar em x de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\bigl(x(9\pi+72)-18\bigr)\,dx =(9\pi+72)\int_{0}^{2} x\,dx -18\int_{0}^{2} dx.
Calcular:
\int_{0}^{2} x\,dx=\frac{2^{2}}{2}=2,\qquad \int_{0}^{2}dx=2.
Portanto
(9\pi+72)\cdot 2 -18\cdot 2 = 2(9\pi+72)-36 =18\pi+144-36 =18\pi+108.
Conclusão do lado do volume:
\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{A})\,dV = 18\pi + 108.

Passo 6

Agora calculemos o fluxo de \vec{A} através da superfície fechada \partial V diretamente, somando as contribuições de cada face:
As superfícies que formam \partial V são:
  1. S_{1}: o disco no plano x=2 com y^{2}+z^{2}\le9, y\ge0,z\ge0 (um quarto de disco).
  2. S_{2}: o disco no plano x=0 (outro quarto de disco).
  3. S_{3}: a face no plano y=0 (retângulo 0\le x\le2,\;0\le z\le3).
  4. S_{4}: a face no plano z=0 (retângulo 0\le x\le2,\;0\le y\le3).
  5. S_{5}: a parte cilíndrica y^{2}+z^{2}=9 com 0\le x\le2 e y,z\ge0 (curva lateral).
Vou calcular o fluxo em cada uma e usar a orientação para fora do volume.

Passo 7

Cálculo dos fluxos superfície a superfície.
(1) Plano x=2. Neste plano a normal externa é +\hat{i}. Em x=2,
\vec{A}=2(2)^{2}\hat{i}-y^{2}\hat{j}+4(2)z^{2}\hat{k}=8\hat{i}-y^{2}\hat{j}+8z^{2}\hat{k}.
O fluxo é
\iint_{S_{1}}\vec{A}\cdot d\vec{S} =\iint_{S_{1}} \vec{A}\cdot\hat{i}\,dS =\iint_{S_{1}} 8\,dS.
A área de S_{1} é a do quarto de disco de raio 3: \tfrac{1}{4}\pi 3^{2}=\tfrac{9\pi}{4}. Logo
\iint_{S_{1}}\vec{A}\cdot d\vec{S} = 8\cdot \frac{9\pi}{4} = 18\pi.
(2) Plano x=0. A normal externa é -\hat{i}. Em x=0,
\vec{A}=0\hat{i}-y^{2}\hat{j}+0\hat{k}.
Então \vec{A}\cdot(-\hat{i})=0. Portanto
\iint_{S_{2}}\vec{A}\cdot d\vec{S}=0.
(3) Plano y=0. A normal externa é -\hat{j}. Em y=0,
\vec{A}=2x^{2}\hat{i}+0\hat{j}+4xz^{2}\hat{k}.
Logo \vec{A}\cdot(-\hat{j})=0 e o fluxo através de S_{3} é zero:
\iint_{S_{3}}\vec{A}\cdot d\vec{S}=0.
(4) Plano z=0. A normal externa é -\hat{k}. Em z=0,
\vec{A}=2x^{2}\hat{i}-y^{2}\hat{j}+0\hat{k},
logo \vec{A}\cdot(-\hat{k})=0 e
\iint_{S_{4}}\vec{A}\cdot d\vec{S}=0.
(5) Superfície cilíndrica y^{2}+z^{2}=9 (lado curvo). Parâmetro conveniente: use \theta no plano yz com
y=3\cos\theta,\qquad z=3\sin\theta,\qquad 0\le\theta\le\frac{\pi}{2},
e x variando de 0 a 2. Para um cilindro de raio constante 3 o vetor normal externo unitário é
\hat{n}=0\cdot\hat{i}+\cos\theta\,\hat{j}+\sin\theta\,\hat{k}.
O elemento de área é dS = 3\,d\theta\,dx (porque a magnitude de R_x\times R_\theta 3).
Em pontos da superfície cilíndrica temos y^{2}=9\cos^{2}\theta e z^{2}=9\sin^{2}\theta. A componente do campo é
\vec{A}=2x^{2}\hat{i}-9\cos^{2}\theta\,\hat{j}+4x(9\sin^{2}\theta)\,\hat{k} =2x^{2}\hat{i}-9\cos^{2}\theta\,\hat{j}+36x\sin^{2}\theta\,\hat{k}.
O produto escalar com \hat{n} é
\vec{A}\cdot\hat{n}=0\cdot2x^{2}+(-9\cos^{2}\theta)\cos\theta+(36x\sin^{2}\theta)\sin\theta =-9\cos^{3}\theta+36x\sin^{3}\theta.
Então o fluxo pela parte cilíndrica é
\iint_{S_{5}}\vec{A}\cdot d\vec{S} =\int_{x=0}^{2}\int_{\theta=0}^{\pi/2}\bigl(-9\cos^{3}\theta+36x\sin^{3}\theta\bigr)\,3\,d\theta\,dx.
Multiplicando por 3:
\iint_{S_{5}}\vec{A}\cdot d\vec{S} =\int_{0}^{2}\int_{0}^{\pi/2}\bigl(-27\cos^{3}\theta+108x\sin^{3}\theta\bigr)\,d\theta\,dx.
Agora integramos em \theta. Usamos as integrais conhecidas
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}\theta\,d\theta=\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\,d\theta=\frac{2}{3}.
Portanto a integral em \theta
\int_{0}^{\pi/2}\bigl(-27\cos^{3}\theta+108x\sin^{3}\theta\bigr)\,d\theta =-27\cdot\frac{2}{3} +108x\cdot\frac{2}{3} =-18 +72x.
Integramos então em x de 0 a 2:
\int_{0}^{2}(-18+72x)\,dx = -18\cdot 2 +72\cdot\frac{2^{2}}{2} = -36 +72\cdot 2 = -36 +144 =108.
Logo
\iint_{S_{5}}\vec{A}\cdot d\vec{S} = 108.

Passo 8

Somando todas as contribuições de superfície:
\iint_{\partial V}\vec{A}\cdot d\vec{S} =\iint_{S_{1}}+\iint_{S_{2}}+\iint_{S_{3}}+\iint_{S_{4}}+\iint_{S_{5}} =18\pi + 0 + 0 + 0 + 108 = 18\pi + 108.
Comparando com o resultado do integral triplo (Passo 5) que foi \;18\pi+108, vemos que os dois lados coincidem. Portanto o Teorema da Divergência está verificado para este campo e esta região.

Resposta

18\pi+108

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