Verificar o teorema da divergência para \vec{A}=2 x^{2} \hat{i}-y^{2} \hat{j}+4 x z^{2} \hat{k} tomado sobre a região limitada por y^{2}+z^{2}=9 e x=2, no primeiro octante.
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema da Divergência para o campo \vec{A}=2 x^{2} \hat{i}-y^{2} \hat{j}+4 x z^{2} \hat{k}
na região do primeiro octante limitada pela superfície cilíndrica y^{2}+z^{2}=9 e pelo plano x=2.
Informações dadas e o que vamos responder:
A região V é composta por todos os pontos com 0\le x\le 2, y\ge0, z\ge0 e y^{2}+z^{2}\le9. Ou seja, para cada x fixo entre 0 e 2 temos a região em yz-plano que é um quarto de disco de raio 3.
Verificar o Teorema da Divergência significa mostrar que o fluxo total de \vec{A} através da superfície fechada \partial V (orientada para fora) é igual ao integral triplo de \nabla\cdot\vec{A} sobre V:
Vou calcular os dois lados: (A) o integral triplo de \nabla\cdot\vec{A} sobre V; (B) o fluxo através de cada parte da superfície fechada e somar. No final comparo os resultados.
Passo 2
Explicação do Teorema da Divergência (versão usada): para um campo vetorial suficientemente suave \vec{A} definido numa região sólida V com fronteira fechada \partial V, o teorema afirma que a soma das saídas (fluxo) de \vec{A} através de toda a superfície \partial V é igual à soma (integral) da divergência de \vec{A} em todo o volume V:
O procedimento prático para verificar: calcular \nabla\cdot\vec{A}, integrar no volume; em seguida calcular fluxos nas superfícies que formam \partial V e somar. Se os dois forem iguais, o teorema está verificado.
Passo 3
Calcular a divergência do campo. A divergência é a soma das derivadas parciais das componentes correspondentes:
Calcular o integral triplo \displaystyle \iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{A})\,dV.
Descrição do volume e escolha de coordenadas: para cada x entre 0 e 2, a fatia transversal no plano yz é o quarto de disco y\ge0,\;z\ge0,\;y^{2}+z^{2}\le 9. É natural usar coordenadas polares no plano yz: definir
y=r\cos\theta,\qquad z=r\sin\theta,
com 0\le r\le 3 e 0\le\theta\le\pi/2. O elemento de área é dA_{yz}=r\,dr\,d\theta, e o elemento de volume é dV = dA_{yz}\,dx = r\,dr\,d\theta\,dx.
(Interpretação: 4x é constante em r,\theta, então integra-se sobre a área do quarto de disco, que vale \tfrac{1}{4}\pi 3^{2}=\tfrac{9\pi}{4}; multiplicando por 4x obtém-se 4x\cdot\tfrac{9\pi}{4}=9\pi x.)
Agora calculemos o fluxo de \vec{A} através da superfície fechada \partial V diretamente, somando as contribuições de cada face:
As superfícies que formam \partial V são:
S_{1}: o disco no plano x=2 com y^{2}+z^{2}\le9, y\ge0,z\ge0 (um quarto de disco).
S_{2}: o disco no plano x=0 (outro quarto de disco).
S_{3}: a face no plano y=0 (retângulo 0\le x\le2,\;0\le z\le3).
S_{4}: a face no plano z=0 (retângulo 0\le x\le2,\;0\le y\le3).
S_{5}: a parte cilíndrica y^{2}+z^{2}=9 com 0\le x\le2 e y,z\ge0 (curva lateral).
Vou calcular o fluxo em cada uma e usar a orientação para fora do volume.
Passo 7
Cálculo dos fluxos superfície a superfície.
(1) Plano x=2. Neste plano a normal externa é +\hat{i}. Em x=2,
Comparando com o resultado do integral triplo (Passo 5) que foi \;18\pi+108, vemos que os dois lados coincidem. Portanto o Teorema da Divergência está verificado para este campo e esta região.