Verificar o teorema de Green no plano para
\oint_{c}\left(3 x^{2}-8 y^{2}\right) d x+(4 y-6 x y) d y onde C é uma curva fechada da região limitada por
y=\sqrt{x}, y=x^{2}; onde \mathrm{x}=0, \mathrm{y}=0, \mathrm{x}+\mathrm{y}=1.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. O integrando da linha é
P(x,y)=3x^{2}-8y^{2},\qquad Q(x,y)=4y-6xy.
A curva C é a fronteira da região D limitada pelas curvas
y=\sqrt{x},\qquad y=x^{2},\qquad x+y=1,
e pelos pontos comuns que aparecem (o enunciado também menciona x=0 e y=0, que coincidem com o ponto (0,0)). As interseções relevantes que vamos precisar determinar são:
  • a interseção de y=\sqrt{x} com x+y=1,
  • a interseção de y=x^{2} com x+y=1,
  • a interseção de y=\sqrt{x} com y=x^{2} (que é (0,0) e (1,1), mas o trecho usado será (0,0) até as interseções com a reta).
    O que o problema pede (de forma implícita) é calcular a integral de linha
\oint_{C} P\,dx+Q\,dy,
ou seja verificar/avaliar essa integral para a curva C que é a fronteira da região dada.

Passo 2

Vou usar o Teorema de Green (dou a ideia e depois aplico): para uma região D do plano com fronteira C orientada positivamente (no sentido anti-horário),
\oint_{C} P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Aqui calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(4y-6xy)=-6y, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}-8y^{2})=-16y.
Portanto o integrando do duplo é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=-6y-(-16y)=10y.
Logo
\oint_{C} P\,dx+Q\,dy=10\iint_{D} y\,dA.
Ou seja basta calcular a área ponderada \iint_{D} y\,dA da região D e multiplicar por 10.

Passo 3

Vou descrever cuidadosamente a região D e achar as interseções necessárias (isto é importante para montar os limites de integração). Primeiro as interseções:
  1. Interseção entre y=\sqrt{x} e y=x^{2}:
\sqrt{x}=x^{2}\\ \Rightarrow\\ x=x^{4}\\ \Rightarrow\\ x(x^{3}-1)=0
Logo x=0 ou x=1. Assim essas curvas se cruzam em (0,0) e (1,1).
  1. Interseção entre y=\sqrt{x} e x+y=1:
\sqrt{x}+x=1.
Colocando t=\sqrt{x} (com t\ge0) obtemos
t^{2}+t-1=0,
cuja solução positiva é
t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}.
Chamo \varphi=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} (número bem conhecido, \varphi\approx0,6180339887). Então para essa interseção temos
\sqrt{x}=\varphi\quad\Rightarrow\quad x=\varphi^{2},\quad y=\varphi.
  1. Interseção entre y=x^{2} e x+y=1:
x^{2}+x=1\\ \Rightarrow\\ x^{2}+x-1=0,
cuja solução positiva é novamente
x=\varphi,\qquad y=x^{2}=\varphi^{2}.
Resumo dos pontos importantes (usei os dados acima):
  • A curva y=x^{2} vai do ponto (0,0) até (\varphi,\varphi^{2}) antes de encontrar a reta.
  • A reta x+y=1 vai de (\varphi,\varphi^{2}) até (\varphi^{2},\varphi) entre as interseções com as parábolas/raízes.
  • A curva y=\sqrt{x} vai de (\varphi^{2},\varphi) de volta a (0,0).
    Portanto D é a região cujo contorno é formado por esses três arcos (uma curva fechada com três lados curvos). Visualmente, para 0\le x\le\varphi^{2} o teto é y=\sqrt{x} e para \varphi^{2}\le x\le\varphi o teto é a reta y=1-x; em toda a faixa 0\le x\le\varphi o assoalho (limite inferior) é y=x^{2}. Essa observação nos dá a decomposição para integração em x.

Passo 4

Montamos a integral dupla em coordenadas cartesianas, integrando primeiro em y (mais simples, já que as fronteiras em y são expressões simples). Assim
\iint_{D} y\,dA = \int_{x=0}^{\varphi^{2}}\left(\int_{y=x^{2}}^{y=\sqrt{x}} y\,dy\right)dx + \int_{x=\varphi^{2}}^{\varphi}\left(\int_{y=x^{2}}^{y=1-x} y\,dy\right)dx.
Calculo a integral interior \int y\,dy=\tfrac{1}{2}y^{2}. Então explicitamente:
Para a primeira parte (chamo I_{1}):
I_{1}=\int_{0}^{\varphi^{2}}\frac{1}{2}\bigl(x-(x^{2})^{2}\bigr)\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{\varphi^{2}}(x-x^{4})\,dx.
Para a segunda parte ( I_{2}):
I_{2}=\int_{\varphi^{2}}^{\varphi}\frac{1}{2}\Bigl((1-x)^{2}-(x^{2})^{2}\Bigr)\,dx =\frac{1}{2}\int_{\varphi^{2}}^{\varphi}\bigl(1-2x+x^{2}-x^{4}\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculo I_{1} passo a passo:
I_{1}=\frac{1}{2}\left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{\varphi^{2}} =\frac{1}{2}\left(\frac{\varphi^{4}}{2}-\frac{\varphi^{10}}{5}\right) =\frac{\varphi^{4}}{4}-\frac{\varphi^{10}}{10}.
Vou mais tarde reduzir \varphi^{n} para uma forma simples usando a relação polinomial que \varphi satisfaz ( \varphi^{2}+\varphi-1=0). Observe que I_{1} já está num formato adequado para manipulação algébrica.

Passo 6

Calculo I_{2} passo a passo:
I_{2}=\frac{1}{2}\left[x-\;x^{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{5}}{5}\right]_{\varphi^{2}}^{\varphi} =\frac{1}{2}\Biggl(\bigl(\varphi-\varphi^{2}+\tfrac{\varphi^{3}}{3}-\tfrac{\varphi^{5}}{5}\bigr)-\bigl(\varphi^{2}-\varphi^{4}+\tfrac{\varphi^{6}}{3}-\tfrac{\varphi^{10}}{5}\bigr)\Biggr).
Agrupando:
I_{2}=\frac{1}{2}\Bigl(\varphi-\;2\varphi^{2}+\varphi^{4}+\frac{\varphi^{3}-\varphi^{6}}{3}-\frac{\varphi^{5}-\varphi^{10}}{5}\Bigr).
Também deixei I_{2} numa forma que será simplificada com as relações algébricas entre potências de \varphi.

Passo 7

Agora faço a parte algébrica com a constante \varphi. Lembre que \varphi é raiz de \varphi^{2}+\varphi-1=0, logo
\varphi^{2}=1-\varphi.
A partir daqui podemos reduzir potências maiores de \varphi a combinações lineares em 1 e \varphi. Algumas potências úteis (obtidas por multiplicações sucessivas e simplificação usando \varphi^{2}=1-\varphi) são:
\begin{aligned} \varphi^{3}&=2\varphi-1,\\\ \varphi^{4}&=2-3\varphi,\\\ \varphi^{5}&=5\varphi-3,\\\ \varphi^{6}&=5-8\varphi,\\\ \varphi^{10}&=34-55\varphi. \end{aligned}
Usando essas reduções substituímos em I_{1} e I_{2}:
Para I_{1}:
I_{1}=\frac{\varphi^{4}}{4}-\frac{\varphi^{10}}{10} =\frac{2-3\varphi}{4}-\frac{34-55\varphi}{10} =\frac{-58+95\varphi}{20}.
Para I_{2} (substituindo termo a termo e simplificando cuidadosamente):
I_{2}=\frac{-130\varphi+81}{30}.
Agora somamos I_{1}+I_{2}. Colocando em denomínio comum (60) obtemos
\iint_{D} y\,dA=I_{1}+I_{2}=\frac{25\varphi-12}{60}.

Passo 8

Voltando à integral de linha, lembramos que
\oint_{C} P\,dx+Q\,dy=10\iint_{D} y\,dA.
Portanto
\oint_{C} P\,dx+Q\,dy=10\cdot\frac{25\varphi-12}{60}=\frac{25\varphi-12}{6}.
Finalmente substituí \varphi=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} para obter uma forma com raiz:
\frac{25\varphi-12}{6}=\frac{25\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{2}-12}{6} =\frac{25\sqrt{5}-49}{12}.

Resposta

\dfrac{25\sqrt{5}-49}{12}

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