Verificar o teorema de Green no plano para
onde C é uma curva fechada da região limitada por
; onde
,
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. O integrando da linha é
A curva
é a fronteira da região
limitada pelas curvas
e pelos pontos comuns que aparecem (o enunciado também menciona
e
, que coincidem com o ponto
). As interseções relevantes que vamos precisar determinar são:
- a interseção de
com , - a interseção de
com , - a interseção de
com (que é e , mas o trecho usado será até as interseções com a reta).
O que o problema pede (de forma implícita) é calcular a integral de linha
ou seja verificar/avaliar essa integral para a curva
que é a fronteira da região dada.
Passo 2
Vou usar o Teorema de Green (dou a ideia e depois aplico): para uma região
do plano com fronteira
orientada positivamente (no sentido anti-horário),
Aqui calculamos as derivadas parciais:
Portanto o integrando do duplo é
Logo
Ou seja basta calcular a área ponderada
da região
e multiplicar por
.
Passo 3
Vou descrever cuidadosamente a região
e achar as interseções necessárias (isto é importante para montar os limites de integração). Primeiro as interseções:
- Interseção entre
e :
Logo
ou
. Assim essas curvas se cruzam em
e
.
- Interseção entre
e :
Colocando
(com
) obtemos
cuja solução positiva é
Chamo
(número bem conhecido,
). Então para essa interseção temos
- Interseção entre
e :
cuja solução positiva é novamente
Resumo dos pontos importantes (usei os dados acima):
- A curva
vai do ponto até antes de encontrar a reta. - A reta
vai de até entre as interseções com as parábolas/raízes. - A curva
vai de de volta a .
Portantoé a região cujo contorno é formado por esses três arcos (uma curva fechada com três lados curvos). Visualmente, para o teto é e para o teto é a reta ; em toda a faixa o assoalho (limite inferior) é . Essa observação nos dá a decomposição para integração em .
Passo 4
Montamos a integral dupla em coordenadas cartesianas, integrando primeiro em
(mais simples, já que as fronteiras em
são expressões simples). Assim
Calculo a integral interior
. Então explicitamente:
Para a primeira parte (chamo
):
Para a segunda parte (
):
Passo 5
Calculo
passo a passo:
Vou mais tarde reduzir
para uma forma simples usando a relação polinomial que
satisfaz (
). Observe que
já está num formato adequado para manipulação algébrica.
Passo 6
Calculo
passo a passo:
Agrupando:
Também deixei
numa forma que será simplificada com as relações algébricas entre potências de
.
Passo 7
Agora faço a parte algébrica com a constante
. Lembre que
é raiz de
, logo
A partir daqui podemos reduzir potências maiores de
a combinações lineares em
e
. Algumas potências úteis (obtidas por multiplicações sucessivas e simplificação usando
) são:
Usando essas reduções substituímos em
e
:
Para
:
Para
(substituindo termo a termo e simplificando cuidadosamente):
Agora somamos
. Colocando em denomínio comum (60) obtemos
Passo 8
Voltando à integral de linha, lembramos que
Portanto
Finalmente substituí
para obter uma forma com raiz: