Verificar se os vetores são linearmente dependentes (LD) ou linearmente independente (LI) nos casos:
e) \mathrm{u}=(2,-1,3), \mathrm{v}=(6,-3,9) e \mathrm{w}=(1,2,1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores \mathrm{u}=(2,-1,3), \mathrm{v}=(6,-3,9) e \mathrm{w}=(1,2,1) em \mathbb{R}^3 são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). O conteúdo envolvido é definição de independência linear e teste por combinação linear não trivial.

Passo 2

Lembrando a definição: o conjunto \{\mathrm{u},\mathrm{v},\mathrm{w}\} é LI se, na única solução da equação
\alpha\,\mathrm{u} + \beta\,\mathrm{v} + \gamma\,\mathrm{w} = (0,0,0),
temos \alpha=\beta=\gamma=0. Caso exista alguma solução com (\alpha,\beta,\gamma)\neq(0,0,0), o conjunto é LD.

Passo 3

Note que \mathrm{v} é múltiplo escalar de \mathrm{u}. De fato,
3\,\mathrm{u} = 3\,(2,-1,3) = (6,-3,9) = \mathrm{v}.
Isso significa que há uma combinação não trivial
3\,\mathrm{u} - 1\,\mathrm{v} = (0,0,0),
logo \mathrm{u} e \mathrm{v} já são LD.

Passo 4

Como um subconjunto (no caso \{\mathrm{u},\mathrm{v}\}) é LD, o conjunto completo \{\mathrm{u},\mathrm{v},\mathrm{w}\} também é LD, independentemente da posição de \mathrm{w}.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes (LD).

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