Verificar se os vetores são linearmente dependentes (LD) ou linearmente independente (LI) nos casos:
d) \mathrm{u}=(0,0) e \mathrm{v}=(1,5)

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores \mathrm{u}=(0,0) e \mathrm{v}=(1,5) em \mathbb{R}^2 e pede para verificar se eles são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Vamos usar a definição de independência linear: um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que gera o vetor zero é a combinação trivial.

Passo 2

Recordando a definição: os vetores \mathrm{u} e \mathrm{v} são LI se, sempre que
a\,\mathrm{u} + b\,\mathrm{v} = (0,0),
isso implicar que a = 0 e b = 0. Se existir alguma solução com (a,b)\neq(0,0), então são LD.

Passo 3

Substituindo \mathrm{u}=(0,0) e \mathrm{v}=(1,5) na combinação, obtemos
a\,(0,0) + b\,(1,5) = (0,0) \quad\Longrightarrow\quad(b,5b) = (0,0).
Dessa igualdade segue b=0.

Passo 4

Com b=0, a equação fica
a\,(0,0) + 0\,(1,5) = (0,0),
o que é verdade para qualquer a. Em particular, escolhemos a=1 e b=0, obtendo uma solução não trivial da combinação que gera o zero.

Resposta

Os vetores \mathrm{u} e \mathrm{v} são linearmente dependentes.

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