Verifigue se L_{1}=L_{2} nos casos.
L_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}-t \y=-\frac{1}{3}+t, \z=\frac{2}{3}-t\end{array} \quad t \in \mathbb{R} \quad L_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=1-s \y=-1+s, \z=2-s\end{array} \quad s \in \mathbb{R}\right.\right.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as retas
L_{1}:\begin{cases}x=\tfrac{1}{3}-t\y=-\tfrac{1}{3}+t\z=\tfrac{2}{3}-t\end{cases},\\ t\in\mathbb{R}
e
L_{2}:\begin{cases}x=1-s\y=-1+s\z=2-s\end{cases},\\ s\in\mathbb{R}
são coincidentes. O conteúdo é geometria analítica no espaço: duas retas são iguais se têm o mesmo vetor direção e se pelo menos um ponto de uma pertence à outra.

Passo 2

Extraímos um ponto e o vetor direção de L_{1}.
Quando t=0, um ponto em L_{1} é
P_1\bigl(\tfrac{1}{3},\,-\tfrac{1}{3},\,\tfrac{2}{3}\bigr).
O vetor direção de L_{1} vem dos coeficientes de t:
\vec v_1 = (-1,\;1,\;-1).

Passo 3

Extraímos um ponto e o vetor direção de L_{2}.
Quando s=0, um ponto em L_{2} é
P_2(1,\,-1,\,2).
O vetor direção de L_{2} vem dos coeficientes de s:
\vec v_2 = (-1,\;1,\;-1).

Passo 4

Como \vec v_1 = (-1,1,-1) e \vec v_2 = (-1,1,-1), as retas são paralelas (ou coincidentes). Ainda falta checar se coincidem, ou seja, se P_2 pertence a L_{1}.

Passo 5

Para ver se P_2\) está em \(L_{1}\), igualamos coordenadas de \(P_2\) às de \(L_{1}\) e tentamos achar um \(t\): \[\begin{cases} 1 = \tfrac{1}{3} - t,\\\\ -1 = -\tfrac{1}{3} + t,\\\\ 2 = \tfrac{2}{3} - t. \end{cases}
Da primeira equação vem
t = \tfrac{1}{3} - 1 = -\tfrac{2}{3}.
Da segunda equação vem
t = -1 + \tfrac{1}{3} = -\tfrac{2}{3},
o que bate com a primeira. Mas da terceira equação viria
t = \tfrac{2}{3} - 2 = -\tfrac{4}{3},
em contradição com -\tfrac{2}{3}\]. Logo, não existe \(t que satisfaça todas as três igualdades simultaneamente, isto é, P_2\notin L_{1}.

Resposta

As retas são paralelas, mas não coincidem. Portanto, L_{1}\neq L_{2}.

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