Determine as equações da reta tangente e da reta normal a cada hipérbole a seguir, no ponto indicado.
x^{2}-9 y^{2}=255 \mathrm{em}(9,4);

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
x^{2} - 9y^{2} = 255
e pede as equações da reta tangente e da reta normal no ponto (9,4). O conteúdo aqui é diferenciação implícita para obter y', que nos dá o coeficiente angular da tangente. A normal terá coeficiente angular igual ao negativo do inverso desse valor.

Passo 2

Diferenciando implicitamente em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2} - 9y^{2}\bigr) = \frac{d}{dx}(255)
2x \;-\; 18y\,\frac{dy}{dx} \;=\; 0
Logo,
\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{18y} = \frac{x}{9y}.

Passo 3

No ponto (9,4), o coeficiente angular da tangente é
m_{\text{tan}} = \frac{x}{9y}\Bigg|_{(9,4)} = \frac{9}{9\cdot 4} = \frac{1}{4}.

Passo 4

A equação da reta tangente, usando a forma ponto-inclinação y - y_{0} = m(x - x_{0}), fica
y - 4 = \tfrac{1}{4}\bigl(x - 9\bigr).
Opcionalmente, em forma explícita:
y = \tfrac{1}{4}x + \tfrac{7}{4}.

Passo 5

O coeficiente angular da normal é o negativo do inverso de m_{\text{tan}}, logo
m_{\text{norm}} = -\frac{1}{m_{\text{tan}}} = -4.
Assim, a reta normal em (9,4) é
y - 4 = -4\bigl(x - 9\bigr),
ou ainda
y = -4x + 40.

Resposta

A reta tangente é
y - 4 = \tfrac{1}{4}(x - 9)
e a reta normal é
y - 4 = -4(x - 9).

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