Determine as equações da reta tangente e da reta normal a cada hipérbole a seguir, no ponto indicado.
em
.
Passo 1
O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal à hipérbole
no ponto
.
Para isso vamos usar derivação implícita para encontrar a inclinação da tangente e, em seguida, a da normal.
Para isso vamos usar derivação implícita para encontrar a inclinação da tangente e, em seguida, a da normal.
Passo 2
Derivando ambos os lados de
em relação a
, temos
isto é,
Agrupando os termos com
:
Logo,
Passo 3
Avaliaremos agora
em
:
Essa é a inclinação da reta tangente,
. A equação ponto-inclinação fica
Em forma explícita:
Passo 4
A reta normal tem inclinação
. Usando o mesmo ponto
:
que se simplifica a
Resposta
Tangente:
.
Normal: .
Normal: