Determine as equações da reta tangente e da reta normal a cada hipérbole a seguir, no ponto indicado.
x^{2}-4 y^{2}-2 x+8 y=35 em (3,2).

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal à hipérbole
x^{2}-4y^{2}-2x+8y=35
no ponto (3,2).
Para isso vamos usar derivação implícita para encontrar a inclinação da tangente e, em seguida, a da normal.

Passo 2

Derivando ambos os lados de
x^{2}-4y^{2}-2x+8y=35
em relação a x, temos
\frac{d}{dx}(x^{2})-\frac{d}{dx}(4y^{2})-\frac{d}{dx}(2x)+\frac{d}{dx}(8y)=\frac{d}{dx}(35),
isto é,
2x-8y\,y'-2+8y'=0.
Agrupando os termos com y':
-8y\,y'+8y'=2-2x \quad\Longrightarrow\quad y'(8-8y)=2(1-x).
Logo,
y'=\frac{2(1-x)}{8(1-y)} =\frac{1-x}{4(1-y)}.

Passo 3

Avaliaremos agora y' em (x,y)=(3,2):
y'\bigl|_{(3,2)} =\frac{1-3}{4(1-2)} =\frac{-2}{4\cdot(-1)} =\frac12.
Essa é a inclinação da reta tangente, m_{t}=\tfrac12. A equação ponto-inclinação fica
y-2=\frac12\,(x-3).
Em forma explícita:
y=\frac12x+\frac12.

Passo 4

A reta normal tem inclinação m_{n}=-1/m_{t}=-2. Usando o mesmo ponto (3,2):
y-2=-2\,(x-3),
que se simplifica a
y=-2x+8.

Resposta

Tangente: y=\tfrac12x+\tfrac12.
Normal: y=-2x+8.

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