Calcule o determinante das matrizes
A=\left(\begin{array}{llll} 4 & 0 & 1 & 1 \\\\ 3 & 1 & 3 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 & 0 \\\\ 3 & 2 & 4 & 1 \end{array}\right) \quad \text { e } \quad B=\left(\begin{array}{llll} 2 & 1 & 3 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right)
Depois responda: A é inversível? B é inversível? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular os determinantes das matrizes A e B dadas e, a partir disso, responder se A e B são inversíveis, justificando. As matrizes fornecidas são:
A=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 1 & 1 \\\\ 3 & 1 & 3 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 & 0 \\\\ 3 & 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
Informações relevantes do enunciado que vamos usar: as duas matrizes 4\times4 e a pergunta sobre inversibilidade (que depende de o determinante ser zero ou não). Não começo a resolver aqui; só listei o que é pedido e os dados.

Passo 2

Conceito e estratégia curta (sem resolver ainda): para uma matriz quadrada, se \det\neq 0 então a matriz é inversível; se \det=0 não é inversível. Para calcular determinantes de 4\times4 eu vou escolher colunas/linhas com muitos zeros e usar a expansão de Laplace (cofatores) — isso evita muitas contas com frações. Lembre-se: ao expandir pela coluna j temos
\det(A)=\sum_{i=1}^{4} (-1)^{i+j} a_{ij}\det(M_{ij}),
onde M_{ij} é a matriz menor obtida tirando linha i e coluna j. Vou aplicar isso às matrizes tirando proveito de colunas com zeros.

Passo 3

Calculo de \det(A). Primeiro faço uma operação prática na matriz A que não altera o determinante: substituir a linha 4 por \text{linha }4 - \text{linha }2. Isso é permitido e mantém o determinante inalterado. Da matriz original
A=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 1 & 1 \\\\ 3 & 1 & 3 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 & 0 \\\\ 3 & 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}
subtraindo a linha 2 da linha 4 obtemos a matriz equivalente (mesmo determinante)
A'\!=\!\begin{pmatrix} 4 & 0 & 1 & 1 \\\\ 3 & 1 & 3 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Note que eu usei o dado da matriz original para criar A' (peguei a linha 4 e a linha 2 da matriz fornecida).

Passo 4

Agora, observe a primeira coluna de A': ela tem entradas 4,3,0,0. Isso é ótimo para expandir pela primeira coluna. Usando a expansão por cofatores na coluna 1 (índice j=1), temos
\det(A)=4\cdot C_{11}+3\cdot C_{21}+0\cdot C_{31}+0\cdot C_{41},
onde C_{i1}=(-1)^{i+1}\det(M_{i1}). Isso dá, explicitamente,
\det(A)=4\det(M_{11})-3\det(M_{21}),
porque o cofator correspondente a a_{21}=3 tem sinal negativo ( (-1)^{2+1}=-1).

Passo 5

Agora calculo os menores M_{11} e M_{21}. Retirando linha 1 e coluna 1 de A' obtemos
M_{11}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\\\ 1 & 2 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Retirando linha 2 e coluna 1 de A' obtemos
M_{21}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Vou calcular cada determinante 3\times3 com a fórmula direta (regra de Sarrus / fórmula de cofatores para 3\times3).

Passo 6

Lembrete da fórmula do determinante 3\times3. Para
M=\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix}
temos
\det(M)=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
Aqui cada letra representa o elemento correspondente da matriz.

Passo 7

Calculo \det(M_{11}) aplicando a fórmula com
M_{11}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\\\ 1 & 2 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Usando a notação da fórmula:
a=1,\; b=3,\; c=1,\; d=1,\; e=2,\; f=0,\; g=1,\; h=1,\; i=0.
Portanto
\det(M_{11})=1\cdot(2\cdot0-0\cdot1)-3\cdot(1\cdot0-0\cdot1)+1\cdot(1\cdot1-2\cdot1).
Calculando cada termo:
1\cdot(0-0)=0,
-3\cdot(0-0)=0,
1\cdot(1-2)= -1.
Somando, obtemos
\det(M_{11})=-1.

Passo 8

Calculo \det(M_{21}) para
M_{21}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Aqui a=0,\; b=1,\; c=1,\; d=1,\; e=2,\; f=0,\; g=1,\; h=1,\; i=0.
Aplicando a fórmula:
\det(M_{21})=0\cdot(2\cdot0-0\cdot1)-1\cdot(1\cdot0-0\cdot1)+1\cdot(1\cdot1-2\cdot1).
Calculando:
primeiro termo 0,
segundo termo -1\cdot(0-0)=0,
terceiro termo 1\cdot(1-2)=-1.
Logo
\det(M_{21})=-1.

Passo 9

Voltando à fórmula do Passo 4:
\det(A)=4\det(M_{11})-3\det(M_{21})=4\cdot(-1)-3\cdot(-1)=-4+3=-1.
Portanto o determinante de A é -1. Como \det(A)\neq 0, isso implica que A é inversível (uma matriz quadrada é inversível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero).

Passo 10

Agora calculo \det(B). A primeira coluna de B é (2,1,0,0)^\top, então é conveniente expandir também pela primeira coluna. Pela expansão de Laplace na coluna 1:
\det(B)=2\det(N_{11})-1\det(N_{21})+0\cdot\det(N_{31})-0\cdot\det(N_{41})=2\det(N_{11})-\det(N_{21}).
Aqui N_{11} é o menor obtido tirando linha 1 e coluna 1 de B, e N_{21} é o menor tirando linha 2 e coluna 1.

Passo 11

Escrevo os menores:
N_{11}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \qquad N_{21}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
Vou calcular \det(N_{11}) e \det(N_{21}) com a fórmula do 3\times3.

Passo 12

Calculo \det(N_{11}). Usando a fórmula com
a=0,\; b=1,\; c=1,\; d=2,\; e=1,\; f=0,\; g=1,\; h=2,\; i=3, obtemos
\det(N_{11})=0\cdot(1\cdot3-0\cdot2)-1\cdot(2\cdot3-0\cdot1)+1\cdot(2\cdot2-1\cdot1).
Calculando os termos:
primeiro 0,
segundo -1\cdot(6-0)=-6,
terceiro 1\cdot(4-1)=3.
Somando:
\det(N_{11})=-6+3=-3.

Passo 13

Calculo \det(N_{21}). Com
a=1,\; b=3,\; c=1,\; d=2,\; e=1,\; f=0,\; g=1,\; h=2,\; i=3, a fórmula dá
\det(N_{21})=1\cdot(1\cdot3-0\cdot2)-3\cdot(2\cdot3-0\cdot1)+1\cdot(2\cdot2-1\cdot1).
Calculemos:
primeiro 1\cdot(3-0)=3,
segundo -3\cdot(6-0)=-18,
terceiro 1\cdot(4-1)=3.
Somando:
\det(N_{21})=3-18+3=-12.

Passo 14

Volto para a fórmula do Passo 10:
\det(B)=2\det(N_{11})-\det(N_{21})=2\cdot(-3)-(-12)=-6+12=6.
Logo \det(B)=6. Como \det(B)\neq 0, a matriz B também é inversível.

Resposta

\det(A)=-1
\det(B)=6
A é inversível: Sim.
B é inversível: Sim.

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