Depois responda: A é inversível? B é inversível? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular os determinantes das matrizes A e B dadas e, a partir disso, responder se A e B são inversíveis, justificando. As matrizes fornecidas são:
Informações relevantes do enunciado que vamos usar: as duas matrizes 4\times4 e a pergunta sobre inversibilidade (que depende de o determinante ser zero ou não). Não começo a resolver aqui; só listei o que é pedido e os dados.
Passo 2
Conceito e estratégia curta (sem resolver ainda): para uma matriz quadrada, se \det\neq 0 então a matriz é inversível; se \det=0 não é inversível. Para calcular determinantes de 4\times4 eu vou escolher colunas/linhas com muitos zeros e usar a expansão de Laplace (cofatores) — isso evita muitas contas com frações. Lembre-se: ao expandir pela coluna j temos
onde M_{ij} é a matriz menor obtida tirando linha i e coluna j. Vou aplicar isso às matrizes tirando proveito de colunas com zeros.
Passo 3
Calculo de \det(A). Primeiro faço uma operação prática na matriz A que não altera o determinante: substituir a linha 4 por \text{linha }4 - \text{linha }2. Isso é permitido e mantém o determinante inalterado. Da matriz original
Note que eu usei o dado da matriz original para criar A' (peguei a linha 4 e a linha 2 da matriz fornecida).
Passo 4
Agora, observe a primeira coluna de A': ela tem entradas 4,3,0,0. Isso é ótimo para expandir pela primeira coluna. Usando a expansão por cofatores na coluna 1 (índice j=1), temos
Portanto o determinante de A é -1. Como \det(A)\neq 0, isso implica que A é inversível (uma matriz quadrada é inversível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero).
Passo 10
Agora calculo \det(B). A primeira coluna de B é (2,1,0,0)^\top, então é conveniente expandir também pela primeira coluna. Pela expansão de Laplace na coluna 1: