Verifique se as afirmações abaixo são corretas e justifique sua resposta.
Em um MLS,
, temos que
e
são os únicos parâmetros desconhecidos.
Em um MLS,
Passo 1
O enunciado nos dá o seguinte modelo linear simples (MLS):
e pede para verificar se a afirmação "as únicas parâmetros desconhecidos são
e
" é correta, com justificativa.
Informações relevantes dadas (explicitadas):
- A relação funcional entre
e é linear com intercepto e coeficiente angular . - Aparece um termo de erro
, sem especificação explícita no enunciado sobre sua distribuição, média ou variância. - Não foi afirmado que a variância dos erros é conhecida nem que os erros são determinísticos.
O que o enunciado pede: dizer se a afirmação sobre os parâmetros desconhecidos está correta e justificar.
Passo 2
O que é “parâmetro” aqui?
Um parâmetro é uma quantidade fixa e numérica que define a distribuição probabilística do modelo (ou a forma funcional que depende de constantes não observadas). No contexto de modelos com erro aleatório, os parâmetros incluem tanto os coeficientes determinísticos (como ) quanto quaisquer quantidades que determinam a distribuição dos erros (por exemplo a variância).
Um parâmetro é uma quantidade fixa e numérica que define a distribuição probabilística do modelo (ou a forma funcional que depende de constantes não observadas). No contexto de modelos com erro aleatório, os parâmetros incluem tanto os coeficientes determinísticos (como
Comentário intuitivo: as letras
e
são claramente parâmetros porque aparecem como constantes desconhecidas na relação entre
e
. Mas o termo
é um erro aleatório — ele tem uma distribuição que normalmente depende de parâmetros adicionais (por exemplo a variância).
Passo 3
Estrutura típica de suposições no MLS clássico (o que se costuma assumir; é importante porque muda quais são os parâmetros):
- Normalmente assume-se que
são i.i.d. com onde é uma constante desconhecida. Muitas vezes também se assume . -
são observados (podem ser considerados fixos ou aleatórios, conforme o contexto), mas o modelo condiciona em .
Dado isso, se
tem variância desconhecida
, então
é outro parâmetro desconhecido do modelo, além de
e
.
Passo 4
Exemplo concreto com distribuição normal (mostra matematicamente que há outro parâmetro):
Suponha . Então a densidade conjunta dos dados condicionada em
é
Suponha
Essa densidade depende explicitamente de
,
e
. Portanto, os parâmetros do modelo (no sentido estatístico) são
.
Passo 5
Relação com estimação e inferência — por que
importa:
- Os estimadores dos coeficientes (método dos mínimos quadrados ordinários) são
Esses estimadores não exigem conhecer para serem calculados, mas sua variância depende de . - Por exemplo,
Para construir intervalos de confiança ou testes para é preciso estimar . O estimador usual é que também é um parâmetro (estimado) associado à variância dos erros.
Isso mostra que, na prática,
é tratado como parâmetro desconhecido e estimado a partir dos dados.
Passo 6
Casos especiais que alteram a resposta:
- Se o enunciado explicitamente assumir que a distribuição dos erros tem variância conhecida (por exemplo
conhecida), então os únicos parâmetros desconhecidos seriam e . Nesse caso a afirmação seria verdadeira. - Se o enunciado for ambíguo (como aqui), a interpretação padrão em regressão é que
é desconhecida e precisa ser estimada — portanto a afirmação é falsa na interpretação padrão. - Outros parâmetros poderiam aparecer se modelarmos mais detalhes (por exemplo erros autocorrelacionados com parâmetro de autocorrelação), mas isso é além do MLS clássico.
Passo 7
Resumo didático e motivacional (um empurrãozinho de ânimo):
- Pense assim:
dizem como se relaciona com . Mas diz o quanto de “barulho” tem em volta dessa relação. Para fazer inferência séria (intervalos, testes) precisa saber (ou estimar) esse “barulho”. Logo, não vale esquecer — ele é quase sempre um parâmetro desconhecido a menos que se diga o contrário.
Resposta
Falsa. Na formulação padrão do MLS, além de
e
o modelo contém também a variância desconhecida dos erros
(ou, mais geralmente, parâmetros que descrevem a distribuição de
); somente se
for assumida conhecida é que
e
seriam os únicos parâmetros desconhecidos.