Verifique se as distribuições abaixo fazem parte da família exponencial.
f(y)=\frac{y^{-1}}{\Gamma(\nu)}\left(\frac{y \nu}{\mu}\right)^{\nu} \exp \left(-\frac{y \nu}{\mu}\right), \quad y>0

Passo 1

O enunciado dá a densidade
f(y)=\frac{y^{-1}}{\Gamma(\nu)}\left(\frac{y \nu}{\mu}\right)^{\nu}\exp\!\left(-\frac{y \nu}{\mu}\right),\qquad y>0,
com parâmetros \nu e \mu (assumir \nu>0 e \mu>0). A tarefa é verificar se essa família de distribuições pode ser escrita na forma da família exponencial — ou seja, colocar f(y) na forma
f(y)=h(y)\exp\!\big(\langle \eta,\; T(y)\rangle + A(\eta)\big)
para algum vetor de parâmetros naturais \eta, estatísticas suficientes T(y), função h(y) que não depende dos parâmetros, e função normalizadora A(\eta). Vou primeiro simplificar a densidade e depois tentar escrevê-la nessa forma, explicando cada passo com calma.

Passo 2

Simplificar a expressão algébrica da densidade (juntando potências de y e constantes):
\begin{aligned} f(y) &= \frac{y^{-1}}{\Gamma(\nu)}\left(\frac{y \nu}{\mu}\right)^{\nu}\exp\!\left(-\frac{y \nu}{\mu}\right)\\[6pt] &= \frac{1}{\Gamma(\nu)}\frac{\nu^{\nu}}{\mu^{\nu}}\, y^{-1}\, y^{\nu}\,\exp\!\left(-\frac{\nu}{\mu}y\right)\\[6pt] &= \frac{\nu^{\nu}}{\Gamma(\nu)\,\mu^{\nu}}\, y^{\nu-1}\,\exp\!\left(-\frac{\nu}{\mu}y\right). \end{aligned}
Portanto a forma simplificada é
f(y)=\frac{\nu^{\nu}}{\Gamma(\nu)\,\mu^{\nu}}\, y^{\nu-1}\,\exp\!\left(-\frac{\nu}{\mu}y\right),\qquad y>0.]

Passo 3

Reconhecimento: a expressão obtida é exatamente a densidade Gama (Gamma) com parâmetro de forma \nu e parâmetro de escala \theta=\mu/\nu — ou, equivalentemente, com parâmetro de forma \nu e taxa \lambda=\nu/\mu. Em notação usual:
\text{Gamma}(\text{shape}=\nu,\\ \text{rate}=\lambda=\tfrac{\nu}{\mu}).
Então trata-se de uma família Gama. Agora vamos ver se essa família Gama pode ser colocada na forma exponencial e identificar as estatísticas suficientes.

Passo 4

Lembrete sobre a forma exponencial (didático e simples): uma família de densidades depende de parâmetros através de uma expressão do tipo
f(y)=h(y)\exp\!\big(\eta_1 T_1(y)+\eta_2 T_2(y)+\cdots + A(\eta)\big),
onde
  • h(y) é função que não depende dos parâmetros;
  • \eta=(\eta_1,\eta_2,\dots) são os parâmetros na forma canônica;
  • T_i(y) são as estatísticas (funções de y) que aparecem multiplicadas pelos parâmetros;
  • A(\eta) é a função log-normalizadora que depende só dos parâmetros.
    Se a família puder ser escrita assim com um número fixo de componentes em \eta, então é uma família exponencial (de dimensão igual ao número de componentes de \eta).

Passo 5

Caso A — supondo \nu conhecido e \mu desconhecido (ou seja, um único parâmetro \mu a estimar).
Escrever f(y) como exponencial em função de \mu. Use a forma já simplificada e tome logaritmo parcial das partes que dependem de \mu:
\begin{aligned} f(y) &= y^{\nu-1}\,\exp\!\left(-\frac{\nu}{\mu}y\right)\cdot\frac{\nu^{\nu}}{\Gamma(\nu)\,\mu^{\nu}}\\[6pt] &= \underbrace{y^{\nu-1}}_{h(y)}\;\exp\!\Big( -\frac{\nu}{\mu}y + \nu\ln\!\big(\tfrac{\nu}{\mu}\big) -\ln\Gamma(\nu)\Big). \end{aligned}
Agora defina o parâmetro canônico
\eta = -\frac{\nu}{\mu}.
Observações:
  • \eta varia em valores negativos (porque \mu>0 e \nu>0), mas isso não impede que seja um parâmetro canônico numa família exponencial de um parâmetro.
  • A escrita fica
f(y)=h(y)\exp\!\big(\eta\, y + A(\eta)\big),
com
h(y)=y^{\nu-1},\qquad A(\eta)=\nu\ln(-\eta)-\ln\Gamma(\nu),
pois \nu\ln(\nu/\mu)=\nu\ln(-\eta) usando \eta=-\nu/\mu.
Conclusão do caso A: com \nu conhecido, a família é uma família exponencial de um parâmetro (canônico \eta), com estatística suficiente de amostra i.i.d. sendo \sum y_i (ou T(y)=y para uma observação). Portanto sim, é família exponencial unidimensional quando \nu é conhecido.]

Passo 6

Caso B — supondo \nu desconhecido e \mu desconhecido (ambos parâmetros livres).
Voltemos à expressão logarítmica completa da densidade simplificada:
\ln f(y) = (\nu-1)\ln y - \frac{\nu}{\mu}y + \nu\ln\!\big(\tfrac{\nu}{\mu}\big) - \ln\Gamma(\nu).
Reescrevendo em forma de soma de termos que dependem de y multiplicados por parâmetros:
\ln f(y) = (\nu-1)\,\ln y \;+\; \Big(-\frac{\nu}{\mu}\Big)\, y \;+\; \underbrace{\nu\ln\!\big(\tfrac{\nu}{\mu}\big) - \ln\Gamma(\nu)}_{A(\nu,\mu)}.
Aqui já vemos claramente duas estatísticas que aparecem multiplicadas por funções dos parâmetros:
  • T_1(y)=\ln y multiplica \nu-1;
  • T_2(y)=y multiplica -\nu/\mu.
Defina os parâmetros canônicos por exemplo
\eta_1=\nu-1,\qquad \eta_2=-\frac{\nu}{\mu}.
Então
\ln f(y)=\eta_1\ln y + \eta_2 y + A(\eta_1,\eta_2)+B(y),
onde B(y)=0 (ou aparece em h(y)) e A(\eta_1,\eta_2) é a função que resulta de \nu\ln(\nu/\mu)-\ln\Gamma(\nu) expressa em termos de \eta_1,\eta_2 (é possível porque \nu=\eta_1+1 e \mu se obtém de \eta_2 e \nu). Há restrições de domínio (por ex. \eta_2<0), mas isso não impede a representação exponencial.
Conclusão do caso B: quando ambos os parâmetros \nu e \mu são livres, a família Gama pode ser escrita como uma família exponencial de dimensão 2 com estatísticas suficientes T_1(y)=\ln y e T_2(y)=y.

Passo 7

Resumo didático e interpretação rápida (estilo amigo que te anima):
  • A densidade dada é uma densidade Gama (já simplificada ficou clara).
  • Se o professor/química da prova tratar \nu como conhecido, então você tem uma família exponencial com um parâmetro (o parâmetro canônico é \eta=-\nu/\mu) e a estatística suficiente para uma amostra i.i.d. é a soma das observações \sum y_i. Isso é ótimo na prova: basta reduzir ao problema de estimar uma exponencial natural.
  • Se \nu também for desconhecido, a família continua sendo uma família exponencial, agora de dimensão 2, com estatísticas suficientes \sum \ln y_i e \sum y_i. Ou seja, ainda há uma estrutura exponencial que facilita inferência (teorema de fatorização, estimação etc.).

Resposta

Sim — pertence à família exponencial.
Se \nu é conhecido: família exponencial de um parâmetro (canônico \eta=-\tfrac{\nu}{\mu}), estatística suficiente T(y)=y.
Se \nu e \mu são ambos desconhecidos: família exponencial de dimensão 2, estatísticas suficientes T_1(y)=\ln y e T_2(y)=y.

Exercícios relacionados