Verifique se as distribuições abaixo fazem parte da família exponencial.
Passo 1
O enunciado fornece a densidade
e pede para verificar se essa família de distribuições pertence à família exponencial.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função densidade depende de dois parâmetros
e . - O suporte é
. - Queremos identificar se existe uma escrita do tipo
(ou, no caso vetorial,
), com
independente dos parâmetros e
estatísticas suficientes.
Passo 2
Rápida revisão do que é família exponencial (do jeito prático):
- Uma família de densidades
é da forma exponencial regular se pode ser escrita como
onde
não depende do parâmetro
,
é a estatística suficiente (função de
),
é o parâmetro natural e
é a função de normalização (depende só de
).
- Para famílias com vários termos no expoente, a forma vetorial é
com
vetor de estatísticas suficientes.
Vou tentar escrever a densidade dada nessa forma, fazendo manipulações algébricas no expoente.
Vou tentar escrever a densidade dada nessa forma, fazendo manipulações algébricas no expoente.
Passo 3
Expandir o quadrado no expoente e simplificar a fração. Começo calculando
Assim o expoente fica
Passo 4
Reescrevendo a densidade com essa expansão:
Agora separar termos que dependem apenas de
, apenas dos parâmetros, e termos que são produto de função de
por função dos parâmetros.
Passo 5
Caso 1 —
conhecido (fixo),
é o parâmetro:
- Como
é fixo, toda dependência em pode ser considerada constante. Posso escolher
que é função só de
(quando
é tratado como constante), e então
- Isso está na forma exponencial unidimensional com estatística suficiente
parâmetro natural
e função de normalização (ou termo só de
)
(escrevendo
; o sinal de
é determinado para igualar o expoente).
Conclusão: se é conhecido, a família é uma família exponencial (uniparamétrica) com estatística suficiente
. Esta distribuição é a conhecida distribuição Inverse Gaussian (com parâmetro de precisão relacionado a
).
Conclusão: se
Passo 6
Caso 2 —
e
ambos desconhecidos:
- Quero uma escolha de
que não dependa nem de nem de . Tomando
obtenho
- Agora o expoente é uma combinação linear em funções de
: ele pode ser reescrito como
com
- Assim podemos tomar o vetor de estatísticas suficientes
e escrever
onde
. Note que
varia em uma superfície de dimensão
no espaço dos parâmetros naturais de dimensão
. Portanto a família é da forma exponencial, mas não necessariamente uma família exponencial regular de dimensão igual ao número de componentes de
(é uma família exponencial “curvada” — o mapa
tem imagem de dimensão 2).
Passo 7
Interpretação e conclusão didática:
- A densidade dada é exatamente a forma da distribuição Inverse Gaussian (IG).
- Se
for conhecido: a família em é uma família exponencial de um parâmetro, com estatística suficiente . Isso é útil na prova: basta mostrar a reescrita do expoente e identificar . - Se
e forem ambos desconhecidos: a família pode ser escrita em forma exponencial com estatísticas ; como há dois parâmetros reais mas três componentes naturais, trata-se de uma família exponencial curvada (o conjunto de parâmetros naturais não é todo , e o vetor natural é parametrizado por em uma superfície de dimensão 2). Em particular, continua pertencendo à família exponencial (no sentido geral), embora não seja um caso simples e regular de família exponencial completa de dimensão igual ao número de parâmetros originais.
Resposta
Sim. Para
conhecido, pertence à família exponencial uniparamétrica com estatística suficiente
e parâmetro natural
.
Para e
ambos desconhecidos, a densidade pode ser escrita na forma exponencial com estatísticas
; é, portanto, uma família exponencial (curvada) — trata-se da distribuição Inverse Gaussian.
Para