Verifique se as distribuições abaixo fazem parte da família exponencial.
f(y)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi y^{3}}} \exp \left(-\frac{1}{2 \sigma^{2} y \mu^{2}}(y-\mu)^{2}\right), \quad y>0

Passo 1

O enunciado fornece a densidade
f(y)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi y^{3}}}\exp\!\left(-\frac{1}{2\sigma^{2}y\mu^{2}}(y-\mu)^{2}\right),\quad y>0,
e pede para verificar se essa família de distribuições pertence à família exponencial.
Informações dadas:
  • A função densidade depende de dois parâmetros \mu e \sigma.
  • O suporte é y>0.
  • Queremos identificar se existe uma escrita do tipo
f(y;\theta)=h(y)\exp\!\big(\eta(\theta)T(y)-A(\theta)\big)
(ou, no caso vetorial, \eta(\theta)^\top T(y)), com h independente dos parâmetros e T(y) estatísticas suficientes.

Passo 2

Rápida revisão do que é família exponencial (do jeito prático):
  • Uma família de densidades f(y;\theta) é da forma exponencial regular se pode ser escrita como
f(y;\theta)=h(y)\exp\!\big(\eta(\theta)T(y)-A(\theta)\big),
onde h(y) não depende do parâmetro \theta, T(y) é a estatística suficiente (função de y), \eta(\theta) é o parâmetro natural e A(\theta) é a função de normalização (depende só de \theta).
  • Para famílias com vários termos no expoente, a forma vetorial é
f(y;\theta)=h(y)\exp\!\big(\eta(\theta)^\top T(y)-A(\theta)\big),
com T(y) vetor de estatísticas suficientes.
Vou tentar escrever a densidade dada nessa forma, fazendo manipulações algébricas no expoente.

Passo 3

Expandir o quadrado no expoente e simplificar a fração. Começo calculando
\frac{(y-\mu)^2}{y\mu^2}=\frac{y^2-2y\mu+\mu^2}{y\mu^2}=\frac{y}{\mu^2}-\frac{2}{\mu}+\frac{1}{y}.
Assim o expoente fica
-\frac{1}{2\sigma^{2}}\left(\frac{y}{\mu^{2}}-\frac{2}{\mu}+\frac{1}{y}\right) =-\frac{y}{2\sigma^{2}\mu^{2}}+\frac{1}{\sigma^{2}\mu}-\frac{1}{2\sigma^{2}y}.

Passo 4

Reescrevendo a densidade com essa expansão:
f(y)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi y^{3}}}\exp\!\left(-\frac{y}{2\sigma^{2}\mu^{2}}+\frac{1}{\sigma^{2}\mu}-\frac{1}{2\sigma^{2}y}\right).
Agora separar termos que dependem apenas de y, apenas dos parâmetros, e termos que são produto de função de y por função dos parâmetros.

Passo 5

Caso 1 — \sigma conhecido (fixo), \mu é o parâmetro:
  • Como \sigma é fixo, toda dependência em \sigma pode ser considerada constante. Posso escolher
h(y)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi y^{3}}}\exp\!\left(-\frac{1}{2\sigma^{2}y}\right),
que é função só de y (quando \sigma é tratado como constante), e então
f(y)=h(y)\exp\!\left(-\frac{y}{2\sigma^{2}\mu^{2}}+\frac{1}{\sigma^{2}\mu}\right).
  • Isso está na forma exponencial unidimensional com estatística suficiente
T(y)=y,
parâmetro natural
\eta(\mu)=-\frac{1}{2\sigma^{2}\mu^{2}},
e função de normalização (ou termo só de \mu)
A(\mu)=-\frac{1}{\sigma^{2}\mu}
(escrevendo \exp(\eta(\mu)T(y)-A(\mu)); o sinal de A é determinado para igualar o expoente).
Conclusão: se \sigma é conhecido, a família é uma família exponencial (uniparamétrica) com estatística suficiente T(y)=y. Esta distribuição é a conhecida distribuição Inverse Gaussian (com parâmetro de precisão relacionado a 1/\sigma^2).

Passo 6

Caso 2 — \mu e \sigma ambos desconhecidos:
  • Quero uma escolha de h(y) que não dependa nem de \mu nem de \sigma. Tomando
h(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi y^{3}}},
obtenho
f(y)=h(y)\exp\!\Big(-\ln\sigma-\frac{1}{2\sigma^{2}y}-\frac{y}{2\sigma^{2}\mu^{2}}+\frac{1}{\sigma^{2}\mu}\Big).
  • Agora o expoente é uma combinação linear em funções de y: ele pode ser reescrito como
\eta_{1}(\mu,\sigma)\,y+\eta_{2}(\mu,\sigma)\,\frac{1}{y}+\eta_{3}(\mu,\sigma),
com
\eta_{1}(\mu,\sigma)=-\frac{1}{2\sigma^{2}\mu^{2}},\quad \eta_{2}(\mu,\sigma)=-\frac{1}{2\sigma^{2}},\quad \eta_{3}(\mu,\sigma)=-\ln\sigma+\frac{1}{\sigma^{2}\mu}.
  • Assim podemos tomar o vetor de estatísticas suficientes
T(y)=\big(T_{1}(y),T_{2}(y),T_{3}(y)\big)=(y,\;1/y,\;1),
e escrever
f(y)=h(y)\exp\!\big(\eta(\mu,\sigma)^\top T(y)\big),
onde \eta(\mu,\sigma)=(\eta_{1},\eta_{2},\eta_{3}). Note que \eta(\mu,\sigma) varia em uma superfície de dimensão 2 no espaço dos parâmetros naturais de dimensão 3. Portanto a família é da forma exponencial, mas não necessariamente uma família exponencial regular de dimensão igual ao número de componentes de \eta (é uma família exponencial “curvada” — o mapa (\mu,\sigma)\mapsto\eta tem imagem de dimensão 2).

Passo 7

Interpretação e conclusão didática:
  • A densidade dada é exatamente a forma da distribuição Inverse Gaussian (IG).
  • Se \sigma for conhecido: a família em \mu é uma família exponencial de um parâmetro, com estatística suficiente T(y)=y. Isso é útil na prova: basta mostrar a reescrita do expoente e identificar h(y),\eta(\mu),T(y),A(\mu).
  • Se \mu e \sigma forem ambos desconhecidos: a família pode ser escrita em forma exponencial com estatísticas T(y)=(y,1/y,1); como há dois parâmetros reais mas três componentes naturais, trata-se de uma família exponencial curvada (o conjunto de parâmetros naturais não é todo \mathbb{R}^3, e o vetor natural é parametrizado por (\mu,\sigma) em uma superfície de dimensão 2). Em particular, continua pertencendo à família exponencial (no sentido geral), embora não seja um caso simples e regular de família exponencial completa de dimensão igual ao número de parâmetros originais.

Resposta

Sim. Para \sigma conhecido, pertence à família exponencial uniparamétrica com estatística suficiente T(y)=y e parâmetro natural \eta(\mu)=-\dfrac{1}{2\sigma^{2}\mu^{2}}.
Para \mu e \sigma ambos desconhecidos, a densidade pode ser escrita na forma exponencial com estatísticas T(y)=(y,1/y,1); é, portanto, uma família exponencial (curvada) — trata-se da distribuição Inverse Gaussian.

Exercícios relacionados