Resumo da questão: Verificar quais afirmações sobre séries numéricas são verdadeiras ou falsas. O conteúdo envolve convergência absoluta e condicional, condição necessária (termo geral tende a zero) e o critério de Leibniz para séries alternadas.
Passo 2
Para (a): dizer que toda série alternada é condicionalmente convergente ignora a possibilidade de convergência absoluta. Exemplo:
é absolutamente convergente, pois
converge (série geométrica com razão 1/2<1). Logo a afirmação é falsa.
Passo 3
Para (b): pelo teorema de convergência absoluta, se sum|an| converge então sum an também converge. A afirmação é verdadeira.
Para (d): falta a condição de decrescimento de bn e bnto0. Exemplo:
an = (-1)^n
faz os termos não tenderem a zero e a série divergir. Afirmação falsa.
Passo 6
Para (e): apesar de ambas as séries divergirem, podemos escolher alpha,beta que cancelem termos. Exemplo:
an = 1, bn = 1, alpha=1, beta=-1
então
sum(alpha an + beta bn)=sum(1-1)=sum0
converge. Afirmação falsa.
Passo 7
Para (f): divergência de sum|an| não garante convergência condicional; pode ocorrer divergência pura. Por exemplo, an=1/n faz ambas sum1/n e sum|1/n| divergirem. Afirmação falsa.
Passo 8
Para (g): se anto1 então o termo geral não tende a zero, condição necessária para convergência. Exemplo an=1 leva à série divergente. Afirmação falsa.
Passo 9
Para (h): ainda que anto0 seja condição necessária, não é suficiente. Basta an=1/n, pois
sumn=1^infty 1n
diverge. Afirmação falsa.
Passo 10
Para (i): convergência de sum an implica anto0, logo 1/an não tende a zero e impede convergência da série sum1/an. Afirmação verdadeira.