Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Exiba exemplos quando forem falsas:
(a) Toda série alternada é condicionalmente convergente.
(b) Toda série absolutamente convergente é convergente.
© Toda série convergente é absolutamente convergente.
(d) Toda série alternada converge.
(e) Se sum an e sum bn divergem então sum alpha(an)+sum beta(bn) diverge para todo alpha, beta in R.
(f) Se sum|an| diverge então sum an é condicionalmnente convergente.
(g) Se an 1 então sumn=1^infty an converge.
(h) Se an 0 então sumn=1^infty an converge.
(i) Se sumn=1^infty an converge então sumn=1^infty 1an diverge.

Passo 1

Resumo da questão: Verificar quais afirmações sobre séries numéricas são verdadeiras ou falsas. O conteúdo envolve convergência absoluta e condicional, condição necessária (termo geral tende a zero) e o critério de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Para (a): dizer que toda série alternada é condicionalmente convergente ignora a possibilidade de convergência absoluta. Exemplo:
sumn=1^infty (-1)^n (tfrac12)^n
é absolutamente convergente, pois
sumn=1^infty |(-1)^n (tfrac12)^n| = sumn=1^infty (tfrac12)^n
converge (série geométrica com razão 1/2<1). Logo a afirmação é falsa.

Passo 3

Para (b): pelo teorema de convergência absoluta, se sum|an| converge então sum an também converge. A afirmação é verdadeira.

Passo 4

Para ©: nem toda série convergente é absolutamente convergente: a série harmônica alternada de Leibniz
sumn=1^infty (-1)^nn
converge, mas
sumn=1^infty |(-1)^nn| = sumn=1^infty 1n
(diverge). Logo é falsa.

Passo 5

Para (d): falta a condição de decrescimento de bn e bnto0. Exemplo:
an = (-1)^n
faz os termos não tenderem a zero e a série divergir. Afirmação falsa.

Passo 6

Para (e): apesar de ambas as séries divergirem, podemos escolher alpha,beta que cancelem termos. Exemplo:
an = 1, bn = 1, alpha=1, beta=-1
então
sum(alpha an + beta bn)=sum(1-1)=sum0
converge. Afirmação falsa.

Passo 7

Para (f): divergência de sum|an| não garante convergência condicional; pode ocorrer divergência pura. Por exemplo, an=1/n faz ambas sum1/n e sum|1/n| divergirem. Afirmação falsa.

Passo 8

Para (g): se anto1 então o termo geral não tende a zero, condição necessária para convergência. Exemplo an=1 leva à série divergente. Afirmação falsa.

Passo 9

Para (h): ainda que anto0 seja condição necessária, não é suficiente. Basta an=1/n, pois
sumn=1^infty 1n
diverge. Afirmação falsa.

Passo 10

Para (i): convergência de sum an implica anto0, logo 1/an não tende a zero e impede convergência da série sum1/an. Afirmação verdadeira.

Resposta

(a) F, (b) V, © F, (d) F, (e) F, (f) F, (g) F, (h) F, (i) V.

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