Verifique se as afirmações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem verdadeiras, demonstre. Se forem falsas, dê um contra-exemplo.
Se A é anti-simétrica inversível, então A^{-1} é anti-simétrica.

Passo 1

O enunciado dá que A é anti-simétrica e invertível. Ou seja:
  • Informação dada: A é anti-simétrica, isto é A^{T} = -A.
  • Informação dada: A é inversível (existe A^{-1}).
  • O que se pede: verificar se, sob essas hipóteses, A^{-1} também é anti-simétrica (ou seja, se (A^{-1})^{T} = -A^{-1}).

Passo 2

Lembremos algumas propriedades básicas que usaremos (cada uma com uma curta explicação):
  • Definição de anti-simétrica: uma matriz B é anti-simétrica se e só se B^{T} = -B.
  • Transposta de um produto: para quaisquer matrizes compatíveis X e Y vale (XY)^{T} = Y^{T} X^{T}. Isso vem de aplicar a definição de transposta elemento a elemento.
  • Transposta da identidade: I^{T} = I.
  • Transposta da inversa: se A é invertível, então (A^{-1})^{T} = (A^{T})^{-1}. Vou demonstrar essa propriedade no próximo passo porque é crucial.

Passo 3

Demonstro que (A^{-1})^{T} = (A^{T})^{-1}.
  • Começo de I = A A^{-1}.
  • Aplico transposta em ambos os lados: I^{T} = (A A^{-1})^{T}.
  • Usando (XY)^{T} = Y^{T} X^{T} e I^{T}=I obtenho I = (A^{-1})^{T} A^{T}.Assim (A^{-1})^{T} é um inverso à esquerda de A^{T}.
  • Fazendo o mesmo a partir de I = A^{-1} A e aplicando transposta obtém-se I = A^{T} (A^{-1})^{T},então (A^{-1})^{T} é também inverso à direita de A^{T}.
  • Como o inverso é único, concluímos (A^{-1})^{T} = (A^{T})^{-1}.

Passo 4

Agora uso que A é anti-simétrica, isto é A^{T} = -A. Substituo na igualdade do passo anterior:
(A^{-1})^{T} = (A^{T})^{-1} = (-A)^{-1}.
Falta relacionar (-A)^{-1} com A^{-1}. Note que
(-A)(-A^{-1}) = A A^{-1} = I,
e também
(-A^{-1})(-A) = A^{-1} A = I.
Portanto -A^{-1} é o inverso de -A, isto é (-A)^{-1} = -A^{-1}. Assim
(A^{-1})^{T} = -A^{-1}.

Passo 5

A igualdade (A^{-1})^{T} = -A^{-1} é exatamente a definição de que A^{-1} é anti-simétrica. Concluímos, portanto, que se A é anti-simétrica e invertível, então A^{-1} também é anti-simétrica.

Passo 6

Exemplo concreto (pequeno teste mental): tome
A=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Tem-se A^{T}=-A e A^{2}=-I, logo A^{-1}=-A. De fato A^{-1} satisfaz (A^{-1})^{T}=-A^{-1}, confirmando na prática o resultado teórico acima.]

Resposta

VERDADEIRA.

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