Verifique se as afirmações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem verdadeiras, demonstre. Se forem falsas, dê um contra-exemplo.
Se
é anti-simétrica inversível, então
é anti-simétrica.
Se
Passo 1
O enunciado dá que
é anti-simétrica e invertível. Ou seja:
- Informação dada:
é anti-simétrica, isto é . - Informação dada:
é inversível (existe ). - O que se pede: verificar se, sob essas hipóteses,
também é anti-simétrica (ou seja, se ).
Passo 2
Lembremos algumas propriedades básicas que usaremos (cada uma com uma curta explicação):
- Definição de anti-simétrica: uma matriz
é anti-simétrica se e só se . - Transposta de um produto: para quaisquer matrizes compatíveis
e vale . Isso vem de aplicar a definição de transposta elemento a elemento. - Transposta da identidade:
. - Transposta da inversa: se
é invertível, então . Vou demonstrar essa propriedade no próximo passo porque é crucial.
Passo 3
Demonstro que
.
- Começo de
. - Aplico transposta em ambos os lados:
. - Usando
e obtenho Assim é um inverso à esquerda de . - Fazendo o mesmo a partir de
e aplicando transposta obtém-se então é também inverso à direita de . - Como o inverso é único, concluímos
Passo 4
Agora uso que
é anti-simétrica, isto é
. Substituo na igualdade do passo anterior:
Falta relacionar
com
. Note que
e também
Portanto
é o inverso de
, isto é
. Assim
Passo 5
A igualdade
é exatamente a definição de que
é anti-simétrica. Concluímos, portanto, que se
é anti-simétrica e invertível, então
também é anti-simétrica.
Passo 6
Exemplo concreto (pequeno teste mental): tome
Tem-se
e
, logo
. De fato
satisfaz
, confirmando na prática o resultado teórico acima.]
Resposta
VERDADEIRA.