Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F) justificando a resposta.
Sejam u, v e w vetores. Então podemos concluir que
( ) Se u // v então u \perp v.

Passo 1

O enunciado dá três vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} e pede para verificar se a afirmação abaixo é verdadeira (V) ou falsa (F), justificando:
\text{Se } \mathbf{u}\,//\,\mathbf{v} \text{ então } \mathbf{u}\perp\mathbf{v}.ã
Lista do que foi dado e do que se pede:
  • Dado: \mathbf{u} e \mathbf{v} são vetores (podem ser o vetor zero ou não).
  • Pergunta: a implicação " \mathbf{u} é paralelo a \mathbf{v} \Rightarrow \mathbf{u} é perpendicular a \mathbf{v}" é verdadeira ou falsa? Justificar a resposta.

Passo 2

Definição de “paralelo” usada aqui (forma algébrica simples e comum): dizer \mathbf{u}\,//\,\mathbf{v} significa que existe um escalar \lambda\in\mathbb{R} tal que
\mathbf{u}=\lambda\,\mathbf{v}.
Observação importante: com essa definição, se \lambda=0 então \mathbf{u}=\mathbf{0}, ou seja, o vetor nulo é (matematicamente) um múltiplo escalar de qualquer vetor.

Passo 3

Definição de “perpendicular” (ortogonalidade) usada: \mathbf{u}\perp\mathbf{v} significa que o produto escalar entre eles é zero:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0.
Lembrete do produto escalar: para vetores no mesmo espaço euclidiano, \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre eles; portanto \mathbf{u}\perp\mathbf{v} corresponde a \theta=90^\circ.

Passo 4

Agora fazemos a ligação algébrica entre ser paralelo e ser perpendicular. Suponha que \mathbf{u}\,//\,\mathbf{v}. Então existe \lambda com
\mathbf{u}=\lambda\mathbf{v}.
Calculemos o produto escalar \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=(\lambda\mathbf{v})\cdot\mathbf{v} =\lambda(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}) =\lambda\|\mathbf{v}\|^{2}.
Aqui usamos que \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{v}\|^{2}\ge 0, e \|\mathbf{v}\|^{2}=0 ocorre somente quando \mathbf{v}=\mathbf{0}.

Passo 5

Interpretação do resultado algébrico: a igualdade \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\lambda\|\mathbf{v}\|^{2} mostra que \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0 (ou seja, \mathbf{u}\perp\mathbf{v}) só acontece nas seguintes situações:
  • \lambda=0, isto é, \mathbf{u}=\mathbf{0}; ou
  • \|\mathbf{v}\|^{2}=0, isto é, \mathbf{v}=\mathbf{0}.
    Portanto, para vetores não nulos e distintos de zero, a condição “ser paralelo” não implica “ser perpendicular”. Em outras palavras, a implicação proposta é falsa no caso geral; só seria verdadeira em casos especiais envolvendo o vetor nulo.

Passo 6

Contraexemplo concreto e simples para deixar a intuição clara: tome
\mathbf{u}=(1,0),\qquad \mathbf{v}=(2,0).
Temos \mathbf{u}=\tfrac{1}{2}\mathbf{v}, logo \mathbf{u}//\mathbf{v}. Porém
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=1\cdot 2 + 0\cdot 0 = 2 \neq 0,
ou seja, \mathbf{u} não é perpendicular a \mathbf{v}. Isso basta para mostrar que a afirmação é falsa.

Resposta

F

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