Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F) justificando a resposta.
Sejam
e
vetores. Então podemos concluir que
( ) Se
então
.
( ) Se
Passo 1
O enunciado dá três vetores
e pede para verificar se a afirmação abaixo é verdadeira (V) ou falsa (F), justificando:
Lista do que foi dado e do que se pede:
- Dado:
e são vetores (podem ser o vetor zero ou não). - Pergunta: a implicação "
é paralelo a é perpendicular a " é verdadeira ou falsa? Justificar a resposta.
Passo 2
Definição de “paralelo” usada aqui (forma algébrica simples e comum): dizer
significa que existe um escalar
tal que
Observação importante: com essa definição, se
então
, ou seja, o vetor nulo é (matematicamente) um múltiplo escalar de qualquer vetor.
Passo 3
Definição de “perpendicular” (ortogonalidade) usada:
significa que o produto escalar entre eles é zero:
Lembrete do produto escalar: para vetores no mesmo espaço euclidiano,
, onde
é o ângulo entre eles; portanto
corresponde a
.
Passo 4
Agora fazemos a ligação algébrica entre ser paralelo e ser perpendicular. Suponha que
. Então existe
com
Calculemos o produto escalar
:
Aqui usamos que
, e
ocorre somente quando
.
Passo 5
Interpretação do resultado algébrico: a igualdade
mostra que
(ou seja,
) só acontece nas seguintes situações:
-
, isto é, ; ou -
, isto é, .
Portanto, para vetores não nulos e distintos de zero, a condição “ser paralelo” não implica “ser perpendicular”. Em outras palavras, a implicação proposta é falsa no caso geral; só seria verdadeira em casos especiais envolvendo o vetor nulo.
Passo 6
Contraexemplo concreto e simples para deixar a intuição clara: tome
Temos
, logo
. Porém
ou seja,
não é perpendicular a
. Isso basta para mostrar que a afirmação é falsa.
Resposta
F