Considere o produto interno usual e a base B=\left\{v_{1}=(0,0,1), v_{2}=(1,0,-1), v_{3}=\right. (0,1,1)\} de \mathbb{R}^{3}. Determine uma base ortonormal de \mathbb{R}^{3}, a partir de B.

Passo 1

O enunciado dá a base \displaystyle B=\{v_{1}=(0,0,1),\;v_{2}=(1,0,-1),\;v_{3}=(0,1,1)\}
de \mathbb{R}^3 com o produto interno usual e pede uma base ortonormal a partir de B. Vamos usar o processo de Gram–Schmidt: a cada passo produzimos um vetor ortogonal aos anteriores e depois normalizamos.

Passo 2

Definimos
u_{1}=v_{1}=(0,0,1).
Seu comprimento é
\|u_{1}\|=\sqrt{0^{2}+0^{2}+1^{2}}=1,
logo o primeiro vetor ortonormal é
e_{1}=\frac{u_{1}}{\|u_{1}\|}=(0,0,1).

Passo 3

Agora fazemos
u_{2}=v_{2}-\operatorname{proj}_{e_{1}}(v_{2}),
onde
\operatorname{proj}_{e_{1}}(v_{2}) =\langle v_{2},e_{1}\rangle\,e_{1} =(1,0,-1)\cdot(0,0,1)\,(0,0,1) =-1\,(0,0,1) =(0,0,-1).
Logo
u_{2}=(1,0,-1)-(0,0,-1)=(1,0,0).
Temos
\|u_{2}\|=\sqrt{1^{2}+0+0}=1,
portanto
e_{2}=\frac{u_{2}}{\|u_{2}\|}=(1,0,0).

Passo 4

Por fim,
u_{3}=v_{3} -\operatorname{proj}_{e_{1}}(v_{3}) -\operatorname{proj}_{e_{2}}(v_{3}).
Primeiro
\operatorname{proj}_{e_{1}}(v_{3}) =\langle v_{3},e_{1}\rangle\,e_{1} =(0,1,1)\cdot(0,0,1)\,(0,0,1) =1\,(0,0,1) =(0,0,1),
então
v_{3}-(0,0,1)=(0,1,1)-(0,0,1)=(0,1,0).
Depois
\operatorname{proj}_{e_{2}}(0,1,0) =\langle(0,1,0),e_{2}\rangle\,e_{2} =(0,1,0)\cdot(1,0,0)\,(1,0,0) =0,
logo
u_{3}=(0,1,0).
Como \|u_{3}\|=1, temos
e_{3}=(0,1,0).

Resposta

A base ortonormal obtida é
\{\,e_{1}=(0,0,1),\;e_{2}=(1,0,0),\;e_{3}=(0,1,0)\}.

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