Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
( ) A transformação T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right) definida por T(x, y, z)=(y, x, z) é uma projeção.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\quad T(x,y,z) = (y,x,z)
é uma projeção. O conteúdo principal é a definição de projeção em espaços vetoriais: uma transformação linear P é projeção se e somente se
P^2 = P.

Passo 2

Relembrando: uma projeção P satisfaz
P^2 = P,
isto é, aplicar P duas vezes é a mesma coisa que aplicar uma vez.

Passo 3

Vamos calcular T^2. Para (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
T^2(x,y,z) \;=\; T\bigl(T(x,y,z)\bigr) \;=\; T(y,x,z) \;=\; (x,y,z).
Logo
T^2 = \mathrm{Id},
a transformação identidade.

Passo 4

Como T^2 = \mathrm{Id} e não T^2 = T (porque T\neq \mathrm{Id}), concluímos que T não satisfaz a condição de projeção.

Resposta

Falso.

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