Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
( ) Seja T \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^{3}). O operador T tem pelo menos um auto-valor real.

Passo 1

O enunciado afirma que dado um operador linear T\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}, ele deve ter pelo menos um autovalor real. O conteúdo principal é o polinômio característico de T, que é um polinômio de grau 3 com coeficientes reais, e o fato de que qualquer polinômio real de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real.

Passo 2

Considere o polinômio característico de T:
p(\lambda)=\det\bigl(T-\lambda I\bigr).
Como T atua em \mathbb{R}^{3}, temos \deg p=3 e p\in\mathbb{R}[\lambda]. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, todo polinômio real de grau ímpar possui ao menos uma raiz real \lambda_{0}. Essa raiz satisfaz
p(\lambda_{0})=0\quad\Longrightarrow\quad\det\bigl(T-\lambda_{0}I\bigr)=0,
o que implica a existência de um vetor não-nulo v\in\mathbb{R}^{3} tal que T(v)=\lambda_{0}v. Portanto T tem pelo menos um autovalor real.

Resposta

Verdadeira.

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