Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
( ) Seja
. O operador
tem pelo menos um auto-valor real.
( ) Seja
Passo 1
O enunciado afirma que dado um operador linear
, ele deve ter pelo menos um autovalor real. O conteúdo principal é o polinômio característico de
, que é um polinômio de grau 3 com coeficientes reais, e o fato de que qualquer polinômio real de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real.
Passo 2
Considere o polinômio característico de
:
Como
atua em
, temos
e
. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, todo polinômio real de grau ímpar possui ao menos uma raiz real
. Essa raiz satisfaz
o que implica a existência de um vetor não-nulo
tal que
. Portanto
tem pelo menos um autovalor real.
Resposta
Verdadeira.