Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
( ) Seja T um operador linear em \mathbb{R}^{2} \operatorname{com} T^{3}=T. Então T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado diz que T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é linear e satisfaz
T^3 = T.
O conteúdo aqui é diagonalização de operador linear usando o polinômio mínimo. Vamos precisar do fato: “Um operador é diagonalizável sobre um corpo se seu polinômio mínimo se factoriza em fatores lineares distintos nesse corpo.”

Passo 2

Escrevendo a equação dada como
T^3 - T = 0,
vemos que T anula o polinômio
p(x) = x^3 - x = x\,(x - 1)\,(x + 1).
Logo, o polinômio mínimo m(x) de T divide p(x). Note que em \mathbb{R} temos a fatoração já toda em fatores lineares e sem raízes repetidas.

Passo 3

Como m(x) divide x(x-1)(x+1) e esses três fatores são distintos em \mathbb{R}, o polinômio mínimo não tem raízes múltiplas. Pelo teorema de diagonalização, T é, portanto, diagonalizável sobre \mathbb{R}.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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