Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
( ) Seja
um operador linear em
. Então
é diagonalizável.
( ) Seja
Passo 1
O enunciado diz que
é linear e satisfaz
O conteúdo aqui é diagonalização de operador linear usando o polinômio mínimo. Vamos precisar do fato: “Um operador é diagonalizável sobre um corpo se seu polinômio mínimo se factoriza em fatores lineares distintos nesse corpo.”
Passo 2
Escrevendo a equação dada como
vemos que
anula o polinômio
Logo, o polinômio mínimo
de
divide
. Note que em
temos a fatoração já toda em fatores lineares e sem raízes repetidas.
Passo 3
Como
divide
e esses três fatores são distintos em
, o polinômio mínimo não tem raízes múltiplas. Pelo teorema de diagonalização,
é, portanto, diagonalizável sobre
.
Resposta
A afirmação é verdadeira.