Verifique se os vetores do \mathbb{R}^{3} são L.I. ou L.D.
\mathbf{v}_{1}=(1,0,1), \mathbf{v}_{2}=(0,1,1) e \mathbf{v}_{3}=(1,1,1).

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^{3}:
\mathbf{v}_{1}=(1,0,1),\quad \mathbf{v}_{2}=(0,1,1),\quad \mathbf{v}_{3}=(1,1,1)
e pede para verificar se eles são linearmente independentes (L.I.) ou dependentes (L.D.).
Para isso vamos usar a definição: são L.I. se a única solução de
c_{1}\mathbf{v}_{1}+c_{2}\mathbf{v}_{2}+c_{3}\mathbf{v}_{3}=\mathbf{0}
é c_{1}=c_{2}=c_{3}=0.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear igual a zero e montamos o sistema de equações para as componentes:
c_{1}(1,0,1)+c_{2}(0,1,1)+c_{3}(1,1,1)=(0,0,0).
Isso gera o sistema
\begin{cases} c_{1}+c_{3}=0,\\\ c_{2}+c_{3}=0,\\\ c_{1}+c_{2}+c_{3}=0. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação vem c_{1}=-c_{3}.
Da segunda vem c_{2}=-c_{3}.
Substituindo na terceira:
(-c_{3})+(-c_{3})+c_{3}=-c_{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad c_{3}=0.
Logo c_{1}=0 e c_{2}=0. A única solução é trivial.

Resposta

Os vetores \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3} são linearmente independentes.

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