Utilize o processo de diagonalização ortogonal e identifique a cônica de equação
Passo 1
O enunciado dá a cônica
que simplifica para
Queremos usar diagonalização ortogonal de uma forma quadrática em
para eliminar o termo
e, a partir disso, identificar a cônica.
Passo 2
Escrevemos a forma quadrática associada sem o termo constante como
Chamando
a equação da cônica é
Passo 3
Encontramos os autovalores de
resolvendo
Logo
Passo 4
Para cada autovalor
obtemos um autovetor
resolvendo
. Por exemplo, para
temos
temos
então podemos escolher
. De modo análogo, para
escolhemos . Normalizando
escolhemos
montamos a matriz ortogonal
tal que
Passo 5
Fazendo a mudança de variáveis ortogonal
a forma quadrática diagonaliza para
Ou seja, em coordenadas principais:
Passo 6
Como
e
, um dos termos do lado esquerdo é positivo e o outro negativo. Isso caracteriza uma hipérbole. Em forma canônica podemos escrever
onde
Resposta
A curva é uma hipérbole cujos eixos principais estão obtidos pela rotação ortogonal de ângulo
que diagonaliza
. Em coordenadas
ela fica