Utilize o processo de diagonalização ortogonal e identifique a cônica de equação
3+2 x y+3 y^{2}-8=0

Passo 1

O enunciado dá a cônica
3 + 2xy + 3y^2 - 8 = 0
que simplifica para
2xy + 3y^2 - 5 = 0.
Queremos usar diagonalização ortogonal de uma forma quadrática em (x,y) para eliminar o termo xy e, a partir disso, identificar a cônica.

Passo 2

Escrevemos a forma quadrática associada sem o termo constante como
Q(x,y) = 2xy + 3y^2 = \begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1 \\[6pt]1 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\[3pt]y\end{pmatrix}.
Chamando
M = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[3pt]1 & 3\end{pmatrix},
a equação da cônica é
\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}M\begin{pmatrix}x \\\ y\end{pmatrix} - 5 = 0.]

Passo 3

Encontramos os autovalores de M resolvendo
\det(M - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}-\lambda & 1 \\[3pt]1 & 3-\lambda\end{pmatrix} = \lambda^2 - 3\lambda - 1 = 0.
Logo
\lambda_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}.]

Passo 4

Para cada autovalor \lambda_i obtemos um autovetor v_i resolvendo (M - \lambda_i I)v_i = 0. Por exemplo, para \lambda_1 = \tfrac{3+\sqrt{13}}{2}
temos
-\lambda_1\,x + y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = \lambda_1\,x,
então podemos escolher v_1 = (1,\;\lambda_1). De modo análogo, para \lambda_2 = \tfrac{3-\sqrt{13}}{2}
escolhemos v_2 = (1,\;\lambda_2). Normalizando
p_i = \frac{v_i}{\|v_i\|} \quad\text{com}\quad \|v_i\| = \sqrt{1+\lambda_i^2},
montamos a matriz ortogonal
P = \bigl[p_1\;|\;p_2\bigr],
tal que
P^T M P = \operatorname{diag}(\lambda_1,\;\lambda_2).

Passo 5

Fazendo a mudança de variáveis ortogonal
\begin{pmatrix}x \\\ y\end{pmatrix} = P \begin{pmatrix}u \\\ v\end{pmatrix},
a forma quadrática diagonaliza para
\lambda_1\,u^2 \;+\;\lambda_2\,v^2 \;-\;5 \;=\;0.
Ou seja, em coordenadas principais:
\frac{u^2}{5/\lambda_1} \;+\;\frac{v^2}{5/\lambda_2} \;=\;1.

Passo 6

Como \lambda_1>0 e \lambda_2<0, um dos termos do lado esquerdo é positivo e o outro negativo. Isso caracteriza uma hipérbole. Em forma canônica podemos escrever
\frac{u^2}{a^2} \;-\;\frac{v^2}{b^2} \;=\;1,
onde
a^2 = \frac{5}{\lambda_1}, \quad b^2 = -\,\frac{5}{\lambda_2}.

Resposta

A curva é uma hipérbole cujos eixos principais estão obtidos pela rotação ortogonal de ângulo \theta que diagonaliza \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 3\end{pmatrix}. Em coordenadas (u,v) ela fica
\frac{u^2}{5/\bigl(\tfrac{3+\sqrt{13}}2\bigr)} \;-\; \frac{v^2}{5/\bigl(\tfrac{3-\sqrt{13}}2\bigr)} =1.

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