Verifique se as afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas, justificando.
( ) (5 pontos) Se A é uma matriz inversível tal que A^{4}=A então \operatorname{det} A=1.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A é uma matriz inversível (ou seja, \det A \neq 0).
  • A^{4}=A.
A pergunta que precisamos responder é: a afirmação "então \det A = 1" é verdadeira ou falsa? Vou justificar detalhadamente.

Passo 2

Usar uma propriedade básica de determinantes. Regra: para qualquer matriz quadrada A e inteiro positivo k vale
\det\!\big(A^{k}\big) = \big(\det A\big)^{k}.
Aplicando isso a A^{4}=A obtemos
\det\!\big(A^{4}\big)=\det A.
Pelo lado esquerdo,
\det\!\big(A^{4}\big)=\big(\det A\big)^{4}.
Portanto
\big(\det A\big)^{4}=\det A.

Passo 3

Como A é inversível temos \det A\neq 0. Podemos dividir a igualdade anterior por \det A para obter
\big(\det A\big)^{3}=1.
Isto significa que \det A é uma raiz cúbica de 1.

Passo 4

Explicar as possíveis soluções de \big(\det A\big)^{3}=1.
  • Se trabalhamos sobre os números complexos, as raízes cúbicas de 1 são
1,\qquad \omega=e^{2\pi i/3}=-\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad \omega^{2}=e^{4\pi i/3}=-\tfrac{1}{2}-i\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Logo, em geral \det A pode ser 1, \omega ou \omega^{2}. Assim, não é garantido que \det A=1 em todos os casos.

Passo 5

Dar um contraexemplo explícito (simples e pedagógico) que mostra que a afirmação é falsa em geral. Tome a matriz 1\times1 (ou seja, o escalar) definida por
A = \bigl[\omega\bigr],
com \omega=e^{2\pi i/3} definido acima. Então:
A^{4}=\bigl[\omega^{4}\bigr]=\bigl[\omega\cdot\omega^{3}\bigr]=\bigl[\omega\cdot 1\bigr]=\bigl[\omega\bigr]=A,
portanto A^{4}=A. Essa matriz é inversível (o determinante é \omega\neq 0). Porém
\det A=\omega\neq 1.
Logo a afirmação "então \det A=1" é falsa em geral.

Passo 6

Tratar o caso especial importante (útil para prova/exame): se a matriz A tiver entradas reais (ou seja, se estivermos trabalhando sobre \mathbb{R}), então \det A é um número real. A equação real
x^{3}=1
tem única solução real x=1. Portanto, sob a hipótese “matriz com entradas reais”, a única possibilidade é \det A=1, e aí a afirmação é verdadeira. Assim:
  • Sem especificar campo: falso (contraexemplo complexo acima).
  • Sob hipótese “matrizes reais”: verdadeiro.

Passo 7

Resumo didático rápido (para lembrar na prova): passo essencial foi aplicar \det(A^{4})=(\det A)^{4}, usar invertibilidade para dividir por \det A e concluir (\det A)^{3}=1. Depois analisar as raízes cúbicas de 1 no corpo em que se está trabalhando (reais ou complexos).

Resposta

Falso.

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