Verifique se as afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas, justificando.
( ) (5 pontos) Se
é uma matriz inversível tal que
então
.
( ) (5 pontos) Se
Passo 1
O enunciado dá:
-
é uma matriz inversível (ou seja, ). -
.
A pergunta que precisamos responder é: a afirmação "então
" é verdadeira ou falsa? Vou justificar detalhadamente.
Passo 2
Usar uma propriedade básica de determinantes. Regra: para qualquer matriz quadrada
e inteiro positivo
vale
Aplicando isso a
obtemos
Pelo lado esquerdo,
Portanto
Passo 3
Como
é inversível temos
. Podemos dividir a igualdade anterior por
para obter
Isto significa que
é uma raiz cúbica de
.
Passo 4
Explicar as possíveis soluções de
.
- Se trabalhamos sobre os números complexos, as raízes cúbicas de
são
Logo, em geral
pode ser
,
ou
. Assim, não é garantido que
em todos os casos.
Passo 5
Dar um contraexemplo explícito (simples e pedagógico) que mostra que a afirmação é falsa em geral. Tome a matriz
(ou seja, o escalar) definida por
com
definido acima. Então:
portanto
. Essa matriz é inversível (o determinante é
). Porém
Logo a afirmação "então
" é falsa em geral.
Passo 6
Tratar o caso especial importante (útil para prova/exame): se a matriz
tiver entradas reais (ou seja, se estivermos trabalhando sobre
), então
é um número real. A equação real
tem única solução real
. Portanto, sob a hipótese “matriz com entradas reais”, a única possibilidade é
, e aí a afirmação é verdadeira. Assim:
- Sem especificar campo: falso (contraexemplo complexo acima).
- Sob hipótese “matrizes reais”: verdadeiro.
Passo 7
Resumo didático rápido (para lembrar na prova): passo essencial foi aplicar
, usar invertibilidade para dividir por
e concluir
. Depois analisar as raízes cúbicas de
no corpo em que se está trabalhando (reais ou complexos).
Resposta
Falso.