( 20 pontos) Se um galo vale 5 moedas, uma galinha vale 3 moedas e 3 frangos valem 1 moeda, quantos de cada um se pode comprar com 100 moedas, de modo que sejam 100 aves ao todo e pelo menos 4 galos? Encontre pelo menos uma solução e indique se ela é única ou não.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (repassando os dados claramente):
  • Um galo vale 5 moedas.
  • Uma galinha vale 3 moedas.
  • Três frangos valem 1 moeda (portanto cada frango vale \tfrac{1}{3} de moeda).
  • Tem-se 100 moedas para gastar.
  • Precisa-se comprar exatamente 100 aves no total.
  • Exige-se que haja pelo menos 4 galos.
O que o problema pede:
  1. Encontrar pelo menos uma solução (quantidades de galos, galinhas e frangos) que satisfaça as condições.
  2. Indicar se essa solução é única ou não (ou seja, se existem outras soluções).

Passo 2

Vamos traduzir o problema para variáveis e equações. Defina:
  • r = número de galos,
  • h = número de galinhas,
  • c = número de frangos.
As condições traduzem-se em duas equações:
  • total de aves: r + h + c = 100,
  • total gasto: 5r + 3h + \tfrac{1}{3}c = 100.
Explicando: a segunda equação soma o preço de cada tipo vezes sua quantidade; como cada frango custa \tfrac{1}{3} de moeda, multiplica-se c por \tfrac{1}{3}.
Para evitar a fração, multiplico a equação do custo por 3:
15r + 9h + c = 300.

Passo 3

Agora eliminamos c para trabalhar com r e h apenas. Da equação do total de aves temos
c = 100 - r - h.
Substituindo em 15r+9h+c=300:
15r + 9h + (100 - r - h) = 300.
Calcule passo a passo:
15r + 9h + 100 - r - h = 300,
(15r - r) + (9h - h) + 100 = 300,
14r + 8h + 100 = 300,
14r + 8h = 200.
Dividindo por 2:
7r + 4h = 100.
Portanto as quantidades r e h devem satisfazer a equação inteira 7r + 4h = 100.

Passo 4

Agora buscamos soluções inteiras não-negativas para 7r + 4h = 100, com a restrição adicional r \ge 4.
Isolando h:
h = \frac{100 - 7r}{4}.
Para que h seja inteiro, precisamos de 100 - 7r divisível por 4. Vamos usar aritmética modular (uma ferramenta prática para ver divisibilidade):
Observe que 7 \equiv -1 \pmod{4}. Assim
100 - 7r \equiv 100 - (-1)r \equiv 100 + r \pmod{4}.
Como 100 \equiv 0 \pmod{4}, obtemos
100 - 7r \equiv r \pmod{4}.
Portanto 100 - 7r é múltiplo de 4 exatamente quando r \equiv 0 \pmod{4}. Em palavras: r deve ser múltiplo de 4.

Passo 5

Agora impondo as restrições de domínio:
  • r é múltiplo de 4,
  • r \ge 4 (condição do enunciado),
  • h \ge 0 e c \ge 0.
Usamos a equação 7r + 4h = 100 para obter um limite superior para r. Como h \ge 0,
7r \le 100 \quad\Rightarrow\quad r \le \frac{100}{7} \approx 14{,}285.
Como r é inteiro, r \le 14. Juntando isso com a condição "múltiplo de 4" e r\ge4, os possíveis valores para r são
r \in \{4,\,8,\,12\}.
(Obs.: r=0 também é múltiplo de 4 e resolveria a equação, mas viola a exigência r\ge4.)

Passo 6

Calculemos h e c para cada candidato:
  • Se r=4:
h = \frac{100 - 7\cdot 4}{4} = \frac{100 - 28}{4} = \frac{72}{4} = 18.
Então c = 100 - r - h = 100 - 4 - 18 = 78.
Verificação do custo:
5\cdot 4 + 3\cdot 18 + \tfrac{1}{3}\cdot 78 = 20 + 54 + 26 = 100.
Portanto (r,h,c)=(4,18,78) é solução.
  • Se r=8:
h = \frac{100 - 7\cdot 8}{4} = \frac{100 - 56}{4} = \frac{44}{4} = 11.
Então c = 100 - 8 - 11 = 81.
Verificação do custo:
5\cdot 8 + 3\cdot 11 + \tfrac{1}{3}\cdot 81 = 40 + 33 + 27 = 100.
Portanto (r,h,c)=(8,11,81) é solução.
  • Se r=12:
h = \frac{100 - 7\cdot 12}{4} = \frac{100 - 84}{4} = \frac{16}{4} = 4.
Então c = 100 - 12 - 4 = 84.
Verificação do custo:
5\cdot 12 + 3\cdot 4 + \tfrac{1}{3}\cdot 84 = 60 + 12 + 28 = 100.
Portanto (r,h,c)=(12,4,84) é solução.
Concluímos que existem (pelo menos) três soluções que respeitam r\ge4.

Passo 7

Comentário sobre unicidade: como encontramos três soluções diferentes que satisfazem todas as condições, a solução não é única. A classificação geral é: todas as soluções inteiras não-negativas da equação original vêm de r múltiplo de 4 com 0\le r\le 14; dentre essas, as que atendem r\ge4 são exatamente r=4,8,12, fornecendo as três soluções listadas.

Resposta

Uma solução: (r,h,c)=(4,18,78).
Não é única. As soluções com pelo menos 4 galos são:
(r,h,c)=(4,18,78)
(r,h,c)=(8,11,81)
(r,h,c)=(12,4,84)

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