( 20 pontos) Se um galo vale 5 moedas, uma galinha vale 3 moedas e 3 frangos valem 1 moeda, quantos de cada um se pode comprar com 100 moedas, de modo que sejam 100 aves ao todo e pelo menos 4 galos? Encontre pelo menos uma solução e indique se ela é única ou não.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (repassando os dados claramente):
- Um galo vale
moedas. - Uma galinha vale
moedas. - Três frangos valem
moeda (portanto cada frango vale de moeda). - Tem-se
moedas para gastar. - Precisa-se comprar exatamente
aves no total. - Exige-se que haja pelo menos
galos.
O que o problema pede:
- Encontrar pelo menos uma solução (quantidades de galos, galinhas e frangos) que satisfaça as condições.
- Indicar se essa solução é única ou não (ou seja, se existem outras soluções).
Passo 2
Vamos traduzir o problema para variáveis e equações. Defina:
-
= número de galos, -
= número de galinhas, -
= número de frangos.
As condições traduzem-se em duas equações:
- total de aves:
- total gasto:
Explicando: a segunda equação soma o preço de cada tipo vezes sua quantidade; como cada frango custa
de moeda, multiplica-se
por
.
Para evitar a fração, multiplico a equação do custo por
:
Passo 3
Agora eliminamos
para trabalhar com
e
apenas. Da equação do total de aves temos
Substituindo em
:
Calcule passo a passo:
Dividindo por
:
Portanto as quantidades
e
devem satisfazer a equação inteira
Passo 4
Agora buscamos soluções inteiras não-negativas para
com a restrição adicional
.
Isolando
:
Para que
seja inteiro, precisamos de
divisível por
. Vamos usar aritmética modular (uma ferramenta prática para ver divisibilidade):
Observe que
. Assim
Como
, obtemos
Portanto
é múltiplo de
exatamente quando
. Em palavras:
deve ser múltiplo de
.
Passo 5
Agora impondo as restrições de domínio:
-
é múltiplo de , -
(condição do enunciado), -
e .
Usamos a equação
para obter um limite superior para
. Como
,
Como
é inteiro,
. Juntando isso com a condição "múltiplo de
" e
, os possíveis valores para
são
(Obs.:
também é múltiplo de
e resolveria a equação, mas viola a exigência
.)
Passo 6
Calculemos
e
para cada candidato:
- Se
:
Então
.
Verificação do custo:
Verificação do custo:
Portanto
é solução.
- Se
:
Então
.
Verificação do custo:
Verificação do custo:
Portanto
é solução.
- Se
:
Então
.
Verificação do custo:
Verificação do custo:
Portanto
é solução.
Concluímos que existem (pelo menos) três soluções que respeitam
.
Passo 7
Comentário sobre unicidade: como encontramos três soluções diferentes que satisfazem todas as condições, a solução não é única. A classificação geral é: todas as soluções inteiras não-negativas da equação original vêm de
múltiplo de
com
; dentre essas, as que atendem
são exatamente
, fornecendo as três soluções listadas.
Resposta
Uma solução:
.
Não é única. As soluções com pelo menos
galos são: