Seja A a matriz dada por
A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 3 & 4 \\\\ 2 & 2 & 3 \end{array}\right]
a) (5 pontos) Se B é obtida a partir de A pela operação elementar que substitui a segunda linha de A pela segunda somada a primeira multiplicada por 2 , determine a matriz elementar E tal que B=E A.
b) ( 20 pontos) Calcule A^{-1}.
c) (5 pontos) Se
X=\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right] \quad \text { e } \quad C=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \end{array}\right]
resolva o sistema A X=C pelo método da matriz inversa.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz A e pede três coisas distintas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados:
A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 3 & 4 \\\\ 2 & 2 & 3 \end{array}\right].
Pede-se:
  • (a) Determinar a matriz elementar E tal que, ao aplicar na forma B=E A, obtém-se a matriz B resultante da operação elemento que substitui a segunda linha de A pela segunda linha somada à primeira multiplicada por 2. (Isto é, L_2 \leftarrow L_2 + 2L_1.)
  • (b) Calcular A^{-1}.
  • (c) Resolver o sistema A X = C com
X=\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right],\qquad C=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \end{array}\right],
usando a matriz inversa (ou seja, X=A^{-1}C).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A operação sobre linhas que transforma A em B é L_2 \leftarrow L_2 + 2L_1.
  • Para obter A^{-1} usarei operações elementares (Gauss–Jordan) aplicadas à matriz aumentada [A\mid I].
  • Para resolver A X = C basta calcular X=A^{-1}C depois de obter A^{-1}.

Passo 2

(a) Entendendo matrizes elementares e construção de E.
Pequena aula prática: uma matriz elementar que realiza uma operação sobre linhas é obtida aplicando a mesma operação na matriz identidade. Aqui queremos a operação L_2 \leftarrow L_2 + 2L_1. Começando pela identidade I_3,
I_3=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right],
aplicando L_2 \leftarrow L_2 + 2L_1 na identidade resulta em uma matriz elementar E cuja segunda linha passa a ser [2\\\ 1\\\ 0] (porque a nova L_2 contém 2 vezes a antiga L_1 mais 1 vez a antiga L_2), enquanto as outras linhas permanecem iguais às da identidade. Assim
E=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Para confirmar que é a correta, aplico B=E A. Multiplicando:
E A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 3 & 4 \\\\ 2 & 2 & 3 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\\ (2\cdot1+3) & (2\cdot0+3) & (2\cdot1+4) \\\\ 2 & 2 & 3 \end{array}\right].
Calculando os elementos da segunda linha: 2\cdot1+3=5, 2\cdot0+3=3, 2\cdot1+4=6. Logo
B=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\\\ 5 & 3 & 6 \\\\ 2 & 2 & 3 \end{array}\right],
o que corresponde exatamente a substituir L_2 por L_2+2L_1. Assim a matriz elementar procurada é
E=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 3

(b) Estratégia para calcular A^{-1}: explicação didática do método.
Vamos usar o método de Gauss–Jordan: montar a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar operações elementares sobre linhas até transformar a parte esquerda em I. As mesmas operações transformam a parte direita I em A^{-1}. Cada operação de linha equivale a multiplicar por uma matriz elementar à esquerda; ao final, a sucessão dessas multiplicações aplicada a A I, e a mesma sucessão aplicada a I A^{-1}.
Montamos a matriz aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 3 & 3 & 4 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Vou executar operações linha a linha, explicando cada passo e mostrando os cálculos.]

Passo 4

Eliminar entradas abaixo do pivô da primeira coluna ( L_1 tem pivot 1).
Operações:
  • L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1.
  • L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1.
Calculando L_2:
Colunas esquerda: 3-3\cdot1=0, 3-3\cdot0=3, 4-3\cdot1=1.
Colunas direita: 0-3\cdot1=-3, 1-3\cdot0=1, 0-3\cdot0=0.
Logo L_2 vira [0\\\ 3\\\ 1\mid -3\\\ 1\\\ 0].
Calculando L_3:
Colunas esquerda: 2-2\cdot1=0, 2-2\cdot0=2, 3-2\cdot1=1.
Colunas direita: 0-2\cdot1=-2, 0-2\cdot0=0, 1-2\cdot0=1.
Logo L_3 vira [0\\\ 2\\\ 1\mid -2\\\ 0\\\ 1].
Aumentada atual:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 1 & -3 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Trabalhar com o segundo pivô (segunda coluna). Primeiro, tornar o pivot igual a 1 dividindo L_2 por 3.
L_2 \leftarrow \dfrac{1}{3}L_2. Isso dá
L_2=[0\\\ 1\\ \tfrac{1}{3}\mid -1\\ \tfrac{1}{3}\\\ 0].
Agora eliminar a entrada em L_3 (coluna 2): L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2.
Calculando L_3:
Esquerda: 0-2\cdot0=0, 2-2\cdot1=0, 1-2\cdot\tfrac{1}{3}=1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}.
Direita: -2-2\cdot(-1)=-2+2=0, 0-2\cdot\tfrac{1}{3}= -\tfrac{2}{3}, 1-2\cdot0=1.
Logo L_3=[0\\\ 0\\ \tfrac{1}{3}\mid 0\\\ -\tfrac{2}{3}\\\ 1].
Aumentada agora:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{3} & -1 & \tfrac{1}{3} & 0\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{3} & 0 & -\tfrac{2}{3} & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Trabalhar com o terceiro pivô (terceira coluna). Tornar o pivot igual a 1 multiplicando L_3 por 3:
L_3 \leftarrow 3L_3 resulta em
L_3=[0\\\ 0\\\ 1\mid 0\\\ -2\\\ 3].
Aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{3} & -1 & \tfrac{1}{3} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 3 \end{array}\right].]

Passo 7

Eliminar as entradas acima do pivô da terceira coluna para obter zeros nas posições (1,3) e (2,3).
Operações:
  • L_1 \leftarrow L_1 - L_3 (porque L_1 tem 1 na coluna 3).
  • L_2 \leftarrow L_2 - \tfrac{1}{3}L_3 (porque L_2 tem \tfrac{1}{3} na coluna 3).
Calcule L_1:
Esquerda: [1,0,1] - [0,0,1] = [1,0,0].
Direita: [1,0,0] - [0,-2,3] = [1, 2, -3].
Calcule L_2:
Esquerda: [0,1,\tfrac{1}{3}] - \tfrac{1}{3}[0,0,1] = [0,1,0].
Direita: [-1,\tfrac{1}{3},0] - \tfrac{1}{3}[0,-2,3] = [-1,\tfrac{1}{3} + \tfrac{2}{3},\\\ 0 -1] = [-1,1,-1].
Agora a matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 2 & -3\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 3 \end{array}\right].
À esquerda já está I_3, então a parte direita é A^{-1}.]

Passo 8

(Conclusão do item b) Ler A^{-1} diretamente da parte direita da matriz aumentada.
Portanto
A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -3\\[4pt] -1 & 1 & -1\\[4pt] 0 & -2 & 3 \end{array}\right].
Pequeno reforço didático: se houver dúvida, pode-se verificar multiplicando A A^{-1} e confirmando que dá I_3. (Fiz a verificação mental/rápida e confirma-se.)]

Passo 9

(c) Resolver A X = C usando A^{-1}.
A solução é
X=A^{-1}C.
Calcule X multiplicando A^{-1} por C:
A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -3\\[4pt] -1 & 1 & -1\\[4pt] 0 & -2 & 3 \end{array}\right],\qquad C=\left[\begin{array}{c} 1\\[4pt] 2\\[4pt] 3 \end{array}\right].
Cálculo das componentes:
x_1=1\cdot1 + 2\cdot2 + (-3)\cdot3 = 1 + 4 -9 = -4,
x_2=(-1)\cdot1 + 1\cdot2 + (-1)\cdot3 = -1 +2 -3 = -2,
x_3=0\cdot1 + (-2)\cdot2 + 3\cdot3 = 0 -4 +9 = 5.
Logo
X=\left[\begin{array}{r} -4\\[4pt] -2\\[4pt] 5 \end{array}\right].]

Resposta

E=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -3\\[4pt] -1 & 1 & -1\\[4pt] 0 & -2 & 3 \end{array}\right]
X=\left[\begin{array}{r} -4\\[4pt] -2\\[4pt] 5 \end{array}\right]]

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