a) (5 pontos) Se B é obtida a partir de A pela operação elementar que substitui a segunda linha de A pela segunda somada a primeira multiplicada por 2 , determine a matriz elementar E tal que B=E A.
b) ( 20 pontos) Calcule A^{-1}.
c) (5 pontos) Se
(a) Determinar a matriz elementar E tal que, ao aplicar na forma B=E A, obtém-se a matriz B resultante da operação elemento que substitui a segunda linha de A pela segunda linha somada à primeira multiplicada por 2. (Isto é, L_2 \leftarrow L_2 + 2L_1.)
A operação sobre linhas que transforma A em B é L_2 \leftarrow L_2 + 2L_1.
Para obter A^{-1} usarei operações elementares (Gauss–Jordan) aplicadas à matriz aumentada [A\mid I].
Para resolver A X = C basta calcular X=A^{-1}C depois de obter A^{-1}.
Passo 2
(a) Entendendo matrizes elementares e construção de E.
Pequena aula prática: uma matriz elementar que realiza uma operação sobre linhas é obtida aplicando a mesma operação na matriz identidade. Aqui queremos a operação L_2 \leftarrow L_2 + 2L_1. Começando pela identidade I_3,
aplicando L_2 \leftarrow L_2 + 2L_1 na identidade resulta em uma matriz elementar E cuja segunda linha passa a ser [2\\\ 1\\\ 0] (porque a nova L_2 contém 2 vezes a antiga L_1 mais 1 vez a antiga L_2), enquanto as outras linhas permanecem iguais às da identidade. Assim
(b) Estratégia para calcular A^{-1}: explicação didática do método.
Vamos usar o método de Gauss–Jordan: montar a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar operações elementares sobre linhas até transformar a parte esquerda em I. As mesmas operações transformam a parte direita I em A^{-1}. Cada operação de linha equivale a multiplicar por uma matriz elementar à esquerda; ao final, a sucessão dessas multiplicações aplicada a A dá I, e a mesma sucessão aplicada a I dá A^{-1}.
Pequeno reforço didático: se houver dúvida, pode-se verificar multiplicando A A^{-1} e confirmando que dá I_3. (Fiz a verificação mental/rápida e confirma-se.)]