Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
Todo sistema linear homogêneo é possível.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se “todo sistema linear homogêneo é possível”, ou seja, se qualquer sistema da forma
sempre admite pelo menos uma solução. O conteúdo envolvido é Álgebra Linear, mais especificamente existência de soluções em sistemas lineares.
Passo 2
Um sistema linear homogêneo tem a forma
que pode ser escrito em notação matricial como
Ax=0
Por definição, um sistema é possível (ou compatível) quando existe pelo menos uma solução.
Passo 3
Observe que o vetor
x=0=(0,0,dots,0)^T
é solução de Ax=0, pois
Acdot0=0
Essa solução é chamada de trivial e sempre existe, independentemente dos coeficientes de A.
Passo 4
Como todo sistema homogêneo admite pelo menos a solução trivial, concluímos que ele é sempre possível (compatível).