Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
Todo sistema linear homogêneo é possível.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se “todo sistema linear homogêneo é possível”, ou seja, se qualquer sistema da forma
Ax=0
sempre admite pelo menos uma solução. O conteúdo envolvido é Álgebra Linear, mais especificamente existência de soluções em sistemas lineares.

Passo 2

Um sistema linear homogêneo tem a forma
a11x1+a12x2+dots+a1nxn=0, a21x1+a22x2+dots+a2nxn=0, vdots am1x1+am2x2+dots+amnxn=0,
que pode ser escrito em notação matricial como
Ax=0
Por definição, um sistema é possível (ou compatível) quando existe pelo menos uma solução.

Passo 3

Observe que o vetor
x=0=(0,0,dots,0)^T
é solução de Ax=0, pois
Acdot0=0
Essa solução é chamada de trivial e sempre existe, independentemente dos coeficientes de A.

Passo 4

Como todo sistema homogêneo admite pelo menos a solução trivial, concluímos que ele é sempre possível (compatível).

Resposta

A afirmativa é verdadeira.

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