Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
Se A é diagonalizável então A^n também é.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A afirmação é: “Se A é diagonalizável, então A^n também é diagonalizável.” Nosso objetivo é verificar se isso é verdadeiro ou falso. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser diagonalizável e como elevamos matrizes a uma potência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz diagonalizável. Uma matriz A é diagonalizável se ela pode ser escrita na forma A = P D P^-1, onde:
  • P é uma matriz invertível,
  • D é uma matriz diagonal (ou seja, todos os seus elementos fora da diagonal principal são zero),
  • P^-1 é a inversa da matriz P.
Isso significa que, através de uma mudança de base definida por P, a matriz A pode ser simplificada para uma matriz diagonal D.

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece quando elevamos a matriz A a uma potência n. Usando a forma diagonalizável de A, temos:
A^n = (P D P^-1)^n
Pela propriedade de matrizes, isso se expande para:
A^n = P D^n P^-1

Passo 4

Observamos que D^n é simplesmente a matriz D elevada à potência n. Como D é uma matriz diagonal, elevar D a qualquer potência n resulta em outra matriz diagonal, onde cada elemento da diagonal é elevado a n. Ou seja, D^n continua sendo uma matriz diagonal.

Passo 5

Então, temos que:
A^n = P D^n P^-1
Isso mostra que A^n também pode ser escrito na forma de uma matriz diagonalizada, onde P permanece a mesma matriz invertível, e D^n é uma matriz diagonal.

Passo 6

Como A^n pode ser expressa na forma P D^n P^-1, onde D^n é diagonal, concluímos que A^n é diagonalizável. Portanto, se A é diagonalizável, então A^n também é diagonalizável.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se A é diagonalizável, então A^n também é diagonalizável.

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