Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
Se
é diagonalizável então
também é.
Se
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A afirmação é: “Se
é diagonalizável, então
também é diagonalizável.” Nosso objetivo é verificar se isso é verdadeiro ou falso. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser diagonalizável e como elevamos matrizes a uma potência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz diagonalizável. Uma matriz
é diagonalizável se ela pode ser escrita na forma
, onde:
-
é uma matriz invertível, -
é uma matriz diagonal (ou seja, todos os seus elementos fora da diagonal principal são zero), -
é a inversa da matriz .
Isso significa que, através de uma mudança de base definida por
, a matriz
pode ser simplificada para uma matriz diagonal
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece quando elevamos a matriz
a uma potência
. Usando a forma diagonalizável de
, temos:
Pela propriedade de matrizes, isso se expande para:
Passo 4
Observamos que
é simplesmente a matriz
elevada à potência
. Como
é uma matriz diagonal, elevar
a qualquer potência
resulta em outra matriz diagonal, onde cada elemento da diagonal é elevado a
. Ou seja,
continua sendo uma matriz diagonal.
Passo 5
Então, temos que:
Isso mostra que
também pode ser escrito na forma de uma matriz diagonalizada, onde
permanece a mesma matriz invertível, e
é uma matriz diagonal.
Passo 6
Como
pode ser expressa na forma
, onde
é diagonal, concluímos que
é diagonalizável. Portanto, se
é diagonalizável, então
também é diagonalizável.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
é diagonalizável, então
também é diagonalizável.