Faça o que se pede:
Sabendo que T é uma transformação linear tal que T(1,0,0)=(1,-1,0,1), T(0,1,0)=(1,1,-1,1) e T(0,0,1)=(-2,0,1,0), obtenha T para todo (x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares juntos! A gente tem uma transformação linear T que pega vetores de R^3 e manda pra R^4 . A tarefa é descobrir como T age em qualquer vetor (x, y, z) . Para isso, vamos usar os conceitos de linearidade e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, lembra que uma transformação linear é determinada pela forma como ela age nas bases do espaço. Aqui, as bases são (1,0,0) , (0,1,0) e (0,0,1) de R^3 . A gente já sabe o que T faz com cada uma dessas bases:
T(1,0,0) = (1, -1, 0, 1)
T(0,1,0) = (1, 1, -1, 1)
T(0,0,1) = (-2, 0, 1, 0)
Isso vai nos ajudar a montar a transformação completa.

Passo 3

Agora, qualquer vetor (x, y, z) em R^3 pode ser escrito como uma combinação linear das bases:
(x, y, z) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1)
Por causa da linearidade de T , a transformação de (x, y, z) vai ser:
T(x, y, z) = x cdot T(1,0,0) + y cdot T(0,1,0) + z cdot T(0,0,1)

Passo 4

Vamos substituir os valores que já conhecemos:
T(x, y, z) = x cdot (1, -1, 0, 1) + y cdot (1, 1, -1, 1) + z cdot (-2, 0, 1, 0)
Agora, vamos multiplicar cada componente por x , y e z respectivamente:
T(x, y, z) = (x cdot 1, x cdot (-1), x cdot 0, x cdot 1) + (y cdot 1, y cdot 1, y cdot (-1), y cdot 1) + (z cdot (-2), z cdot 0, z cdot 1, z cdot 0)

Passo 5

Agora, vamos somar as componentes correspondentes:
T(x, y, z) = (x + y - 2z,; -x + y + 0z,; 0x - y + z,; x + y + 0z)
Simplificando:
T(x, y, z) = (x + y - 2z,; -x + y,; -y + z,; x + y)

Resposta

A transformação linear T para todo (x, y, z) é:
T(x, y, z) = (x + y - 2z,; -x + y,; -y + z,; x + y)

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