Faça o que se pede:
Sabendo que
é uma transformação linear tal que
,
e
, obtenha
para todo
.
Sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares juntos! A gente tem uma transformação linear
que pega vetores de
e manda pra
. A tarefa é descobrir como
age em qualquer vetor
. Para isso, vamos usar os conceitos de linearidade e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, lembra que uma transformação linear é determinada pela forma como ela age nas bases do espaço. Aqui, as bases são
,
e
de
. A gente já sabe o que
faz com cada uma dessas bases:
Isso vai nos ajudar a montar a transformação completa.
Passo 3
Agora, qualquer vetor
em
pode ser escrito como uma combinação linear das bases:
Por causa da linearidade de
, a transformação de
vai ser:
Passo 4
Vamos substituir os valores que já conhecemos:
Agora, vamos multiplicar cada componente por
,
e
respectivamente:
Passo 5
Agora, vamos somar as componentes correspondentes:
Simplificando:
Resposta
A transformação linear
para todo
é: