Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeíra, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
( 1 ponto) No espaço da funções contínuas definidas entre 0 e 1,\langle f, g\rangle=\int_{0}^{1} f(x) g(x) d x é um produto interno.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, no espaço C([0,1]) das funções reais contínuas em [0,1], a fórmula
\langle f,g\rangle \;=\;\int_{0}^{1}f(x)\,g(x)\,dx
satisfaz as quatro propriedades de produto interno:
  1. Linearidade no primeiro argumento.
  2. Simetria.
  3. Definitude positiva (positividade e “nulidade implica zero”).
  4. (Opcionalmente) conjugação em espaços complexos, mas aqui tudo é real.

Passo 2

Verificamos a simetria e a linearidade simultaneamente: seja f,g,h\in C([0,1]) e a,b\in\mathbb{R}.
– Simetria:
\langle f,g\rangle =\int_{0}^{1}f(x)\,g(x)\,dx =\int_{0}^{1}g(x)\,f(x)\,dx =\langle g,f\rangle.
– Linearidade no primeiro argumento:
\langle a\,f + b\,g,\;h\rangle =\int_{0}^{1}\bigl(a\,f(x)+b\,g(x)\bigr)\,h(x)\,dx =a\int_{0}^{1}f(x)\,h(x)\,dx + b\int_{0}^{1}g(x)\,h(x)\,dx =a\,\langle f,h\rangle + b\,\langle g,h\rangle.

Passo 3

Restou checar a positividade e a nulidade única. Para f\in C([0,1]):
\langle f,f\rangle =\int_{0}^{1}f(x)^{2}\,dx.
Como f^{2}(x)\ge0 em todo [0,1], segue \langle f,f\rangle\ge0.

Passo 4

Finalmente, se \langle f,f\rangle=0 então
\int_{0}^{1}f(x)^{2}\,dx=0.
Por continuidade de f, isso só ocorre quando f(x)^{2}=0 para todo x, ou seja f(x)=0 em [0,1].

Resposta

A afirmativa é verdadeira.

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