Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeíra, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
( 1 ponto) No espaço da funções contínuas definidas entre 0 e
é um produto interno.
( 1 ponto) No espaço da funções contínuas definidas entre 0 e
Passo 1
O enunciado pede para verificar se, no espaço
das funções reais contínuas em
, a fórmula
satisfaz as quatro propriedades de produto interno:
- Linearidade no primeiro argumento.
- Simetria.
- Definitude positiva (positividade e “nulidade implica zero”).
- (Opcionalmente) conjugação em espaços complexos, mas aqui tudo é real.
Passo 2
Verificamos a simetria e a linearidade simultaneamente: seja
e
.
– Simetria:
– Simetria:
– Linearidade no primeiro argumento:
Passo 3
Restou checar a positividade e a nulidade única. Para
:
Como
em todo
, segue
.
Passo 4
Finalmente, se
então
Por continuidade de
, isso só ocorre quando
para todo
, ou seja
em
.
Resposta
A afirmativa é verdadeira.