Prove que:
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial sobre
, vale
Vamos usar as propriedades de adição de vetores (existência de inverso aditivo e cancelamento) e a multiplicação por escalar.
Passo 2
Prova de “se
, então
”.
Suponha . Somando
aos dois lados da igualdade, obtemos
Suponha
Por definição de multiplicação escalar em
, escrevemos
Como o escalar
é invertível em
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 3
Prova de “se
, então
”.
Se , então o inverso aditivo de
é
Se
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Resposta
Dessa forma mostramos que