Prove que:
u=-u se, e somente se, u=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial sobre R, vale
vec u = -vec u Long<=ftrightarrow vec u = 0
Vamos usar as propriedades de adição de vetores (existência de inverso aditivo e cancelamento) e a multiplicação por escalar.

Passo 2

Prova de “se vec u = -vec u, então vec u=0”.
Suponha vec u = -vec u. Somando vec u aos dois lados da igualdade, obtemos
vec u + vec u = -vec u + vec u = 0
Por definição de multiplicação escalar em R, escrevemos
2,vec u = 0
Como o escalar 2 é invertível em R, multiplicamos ambos os lados por tfrac12:
vec u = 12l(2,vec ur) = 12,0 = 0

Passo 3

Prova de “se vec u=0, então vec u = -vec u”.
Se vec u=0, então o inverso aditivo de vec u é
-vec u = -0 = 0
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vec u = 0 = -vec u

Resposta

Dessa forma mostramos que
vec u = -vec u Long<=ftrightarrow vec u = 0

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