Determine tildea(z), onde:
an=1n^2+n, se n>0 e a0=0

Passo 1

O enunciado pede para achar a transformada-z tilde a(z)=sumn=0^infty an z^-n da sequência dada por a0=0 e an=1n^2+n para n>0. O conteúdo principal é transformada-z e vamos usar frações parciais e a série sumn=1^infty x^n/n=-ln(1-x).

Passo 2

Primeiro, note que para n>0 temos a fração parcial
1n(n+1)=1n-1n+1
isso facilita a soma.

Passo 3

Escrevendo a definição da transformada-z e usando a fração parcial:
tilde a(z)=sumn=1^inftyz^-nn(n+1) =sumn=1^inftyl(1n-1n+1r)z^-n = S1 - S2

Passo 4

Para S1=sumn=1^infty z^-n/n, reconhecemos a série da função logarítmica:
S1=-lnl(1-z^-1r)
válido para |z|>1.

Passo 5

Para S2=sumn=1^infty z^-n/(n+1), fazemos a troca de índice k=n+1:
S2=sumk=2^inftyz^-(k-1)k =zsumk=2^inftyz^-kk =zl(sumk=1^inftyz^-kk-z^-11r) =zl(-ln(1-z^-1)-z^-1r)

Passo 6

Agora juntamos S1 e S2:
tilde a(z)=S1-S2=-ln(1-z^-1)-l[-zln(1-z^-1)-1r] = (z-1)lnl(1-z^-1r)+1

Passo 7

Obtivemos a expressão fechada de tilde a(z) válida para |z|>1.

Resposta

tilde a(z)=1+(z-1)lnl(1-z^-1r),|z|>1

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