Verifique se as aplicações abaixo são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras.
b.
dada por
b.
Passo 1
O enunciado define a aplicação linear
Precisamos determinar se
é injetora (kernel trivial), sobrejetora (imagem igual a
) ou bijetora (ambas).
Passo 2
Para checar a injetividade, usamos o fato de que
é injetora se e só se
ou seja, se
implica
. Seja
e suponha
. Isso dá as equações
logo
é a matriz nula. Portanto
e
é injetora.
Passo 3
Para checar a sobrejetividade, tomamos um vetor arbitrário
e construímos
Pela definição de
temos
portanto todo vetor de
tem um pré-imagem em
e
é sobrejetora.]
Passo 4
Como
é simultaneamente injetora e sobrejetora, concluímos que
é bijetora.
Resposta
A aplicação
é bijetora.