Verifique se as aplicações abaixo são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras.
b. F2: M2(R) R^4 dada por
F2[ll a & b c & d ]=(a, b, c, d)

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
F2colon M2(R) to R^4, F2l(a & b c & dr) = (a,b,c,d)
Precisamos determinar se F2 é injetora (kernel trivial), sobrejetora (imagem igual a R^4) ou bijetora (ambas).

Passo 2

Para checar a injetividade, usamos o fato de que F2 é injetora se e só se
ker(F2) = ,0
ou seja, se F2(A)=0 implica A=0. Seja
A=a & b c & d
e suponha F2(A)=(0,0,0,0). Isso dá as equações
a=0, b=0, c=0, d=0,
logo A é a matriz nula. Portanto
ker(F2)=0
e F2 é injetora.

Passo 3

Para checar a sobrejetividade, tomamos um vetor arbitrário (x1,x2,x3,x4)inR^4 e construímos
A = x1 & x2 [6pt] x3 & x4in M2(R)
Pela definição de F2 temos
F2(A) = (x1,x2,x3,x4),
portanto todo vetor de R^4 tem um pré-imagem em M2(R) e F2 é sobrejetora.]

Passo 4

Como F2 é simultaneamente injetora e sobrejetora, concluímos que F2 é bijetora.

Resposta

A aplicação F2 é bijetora.

Exercícios relacionados