Sejam B1=(1,0),(0,1),
B2=(-1,1),(1,1), B3=(raiz3, 1),(raiz3,-1) e B4=(2,0),(0,2) bases ordenadas de R^2.
As coordenadas de um vetor v em relação à base B2 são dadas por
[v]B2=[l 4 0 ]
[^0]Quais são as coordenadas de v em relação às bases B1, B3 e B4 ?

Passo 1

O enunciado dá quatro bases ordenadas de R^2:
B1=(1,0),(0,1), B2=(-1,1),(1,1), B3=(raiz3,1),(raiz3,-1), B4=(2,0),(0,2)
e informa que as coordenadas de um vetor v em relação a B2 são
[v]B2=40
O que precisamos fazer é:
  1. Encontrar v em coordenadas canônicas (base B1).
  2. A partir daí, expressar v nas bases B3 e B4.
    O conteúdo é mudança de base em R^2.

Passo 2

Para obter v em coordenadas canônicas usamos a definição de coordenadas em B2. Se
[v]B2 = 40,
então
v = 4,(-1,1) + 0,(1,1) = (-4,4)

Passo 3

A base B1 é a base canônica (1,0),(0,1). Logo as coordenadas de v em B1 são simplesmente os componentes de (-4,4):
[v]B1 = -4 4

Passo 4

Para achar
Isso gera o sistema
Da segunda equação (c_{1}=4+c_{2}]. Substituindo na primeira:
Portanto

Passo 5

Para [v]B4 resolvemos
d1,(2,0)+d2,(0,2)=(-4,4) Longrightarrow (2d1,,2d2)=(-4,4),
logo 2d1=-4Rightarrow d1=-2 e 2d2=4Rightarrow d2=2. Assim
[v]B4 = -22

Resposta

[v]B1 = -44, [v]B3 = 2 - tfrac2raiz3 -2 - tfrac2raiz3 , [v]B4 = -22

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