Seja F: R^3 R^2 uma transformação linear tal que
& F(1,0,0)=(2,-4) & F(0,1,0)=(3,-5) & F(0,0,1)=(2,3)
Calcule F(1,-2,3).

Passo 1

O enunciado diz que Fcolon R^3toR^2 é linear e fornece
F(1,0,0)=(2,-4), F(0,1,0)=(3,-5), F(0,0,1)=(2,3)
Pede-se calcular F(1,-2,3). Para isso vamos usar o fato de que em relação à base canônica qualquer vetor se escreve como combinação linear dos vetores (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) e então aplicar a linearidade de F.

Passo 2

Escrevemos o vetor (1,-2,3) como combinação dos vetores da base canônica:
(1,-2,3) = 1,(1,0,0) + (-2),(0,1,0) + 3,(0,0,1)

Passo 3

Como F é linear, vale
F(1,-2,3) = 1cdot F(1,0,0) + (-2)cdot F(0,1,0) + 3cdot F(0,0,1)

Passo 4

Substituindo os valores dados:
F(1,-2,3) = 1cdot(2,-4) + (-2)cdot(3,-5) + 3cdot(2,3)
Calculando cada componente:
x-componente=2 -2cdot3 +3cdot2 =2 -6 +6 =2,
y-componente=-4 -2cdot(-5) +3cdot3 = -4 +10 +9 =15
Logo,
F(1,-2,3) = (2,,15)

Resposta

(2,15)

Exercícios relacionados