Verifique se as aplicações a seguir são produtos internos nos espaços vetoriais indicados.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
em
M2(R) , onde
A=a & b c & d e
B=e & f g & h , é um produto interno. Para isso, precisamos checar as três propriedades típicas em espaços reais:
- Simetria:
.lang<= A,Brang<= = lang<= B,Arang<= - Linearidade no primeiro argumento:
elang<= A1 + A2, Brang<= = lang<= A1,Brang<= + lang<= A2,Brang<=
.lang<= alpha A, Brang<= = alpha,lang<= A,Brang<= - Definitude positiva:
elang<= A,Arang<= >= 0
só selang<= A,Arang<= = 0 for a matriz zero.A
Passo 2
Verificação da simetria. Usando a definição,
enquanto trocando
A por
B e vice-versa,
Logo
lang<= A,Brang<= = lang<= B,Arang<= , ou seja, a aplicação é simétrica.
Passo 3
Verificação da linearidade no primeiro argumento. Sejam
,
e
. Então
,
e
. Então
e
Para
,
Portanto a aplicação é linear no primeiro argumento.
Passo 4
Verificação da definitude positiva. Para ,
Como soma de quadrados reais, temos
. Além disso,
implica
, ou seja,
é a matriz zero.
Resposta
A aplicação
lang<=,cdot,,,cdot,rang<=
definida acima satisfaz simetria, linearidade e definitude positiva e, portanto, é um produto interno emM2(R) .
definida acima satisfaz simetria, linearidade e definitude positiva e, portanto, é um produto interno em