Verifique se as aplicações a seguir são produtos internos nos espaços vetoriais indicados.
lang<=(lla & b c & d),(lle & f g & h)rang<==a cdot e+b cdot f+c cdot g+d cdot h

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
llang<= A,Brrang<= = a,e + b,f + c,g + d,h
em M2(R), onde
A=a & b c & d e
B=e & f g & h, é um produto interno. Para isso, precisamos checar as três propriedades típicas em espaços reais:
  1. Simetria: lang<= A,Brang<= = lang<= B,Arang<=.
  2. Linearidade no primeiro argumento:
    lang<= A1 + A2, Brang<= = lang<= A1,Brang<= + lang<= A2,Brang<= e
    lang<= alpha A, Brang<= = alpha,lang<= A,Brang<=.
  3. Definitude positiva: lang<= A,Arang<= >= 0 e
    lang<= A,Arang<= = 0 só se A for a matriz zero.

Passo 2

Verificação da simetria. Usando a definição,
lang<= A,Brang<= = a,e + b,f + c,g + d,h,
enquanto trocando A por B e vice-versa,
lang<= B,Arang<= = e,a + f,b + g,c + h,d = a,e + b,f + c,g + d,h
Logo
lang<= A,Brang<= = lang<= B,Arang<=, ou seja, a aplicação é simétrica.

Passo 3

Verificação da linearidade no primeiro argumento. Sejam
,
e
. Então
e
Para ,
Portanto a aplicação é linear no primeiro argumento.

Passo 4

Verificação da definitude positiva. Para ,
Como soma de quadrados reais, temos . Além disso,
implica , ou seja, é a matriz zero.

Resposta

A aplicação
lang<=,cdot,,,cdot,rang<=
definida acima satisfaz simetria, linearidade e definitude positiva e, portanto, é um produto interno em M2(R).

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