Verifique se as aplicações a seguir são produtos internos nos espaços vetoriais indicados.
<a x^2+b x+c, d x^2+e x+f>=a d x^2+b e x+(c-f), onde V=P2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
lang<=,a x^2+b x+c,;d x^2+e x+frang<= ;=;a d,x^2+b e,x+(c-f)
em V=P2 satisfaz os axiomas de produto interno:
  1. mapeia em R,
  2. simetria,
  3. bilinearidade,
  4. positividade definida.

Passo 2

Para começar, note que o valor de lang<= p,qrang<= é o polinômio
a d,x^2+b e,x+(c-f),
e não um número real. Assim já falha o axioma de que o produto interno deve ser um escalar em R.

Passo 3

Mesmo ignorando o problema do codomain, a simetria também falha. Se p(x)=a x^2+b x+c e q(x)=d x^2+e x+f, então
lang<= p,qrang<= = a d,x^2+b e,x+(c-f),
enquanto
lang<= q,prang<= = d a,x^2+e b,x+(f-c) = a d,x^2+b e,x+(f-c)
Geralmente (c-f)neq(f-c), logo não há lang<= p,qrang<==lang<= q,prang<=.

Passo 4

Por fim, a positividade definida exige que lang<= p,prang<=>0 para todo pneq0. Mas
lang<= p,prang<= = a^2,x^2 + b^2,x + (c-c) = a^2,x^2 + b^2,x
é um polinômio que nem é escalar e, além disso, se a=b=0 mas cneq0 dá zero. Falha a positividade definida.

Resposta

A aplicação não é produto interno em P2, pois não retorna escalar, não é simétrica e não satisfaz positividade definida.

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