Verifique se as aplicações a seguir são produtos internos nos espaços vetoriais indicados.
, onde
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
em
satisfaz os axiomas de produto interno:
- mapeia em
, - simetria,
- bilinearidade,
- positividade definida.
Passo 2
Para começar, note que o valor de
é o polinômio
e não um número real. Assim já falha o axioma de que o produto interno deve ser um escalar em
.
Passo 3
Mesmo ignorando o problema do codomain, a simetria também falha. Se
e
, então
enquanto
Geralmente
, logo não há
.
Passo 4
Por fim, a positividade definida exige que
para todo
. Mas
é um polinômio que nem é escalar e, além disso, se
mas
dá zero. Falha a positividade definida.
Resposta
A aplicação não é produto interno em
, pois não retorna escalar, não é simétrica e não satisfaz positividade definida.