Verifique se as aplicações a seguir são produtos internos nos espaços vetoriais indicados.
onde
isto é
é o espaço vetorial das funções reais contínuas em [0, 1];
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
define um produto interno em
. Para isso, precisamos checar três propriedades: bilinearidade, simetria e positividade definida.
Passo 2
Bilinearidade em
significa que para quaisquer
e escalar
vale
Analogamente mostra-se linearidade no segundo argumento. Logo, é bilinear.
Passo 3
Simetria exige que
. De fato,
Passo 4
Para positividade definida, precisamos de
-
para todo . -
implica .
Comoé contínua em , e
Se
não for a função zero, existe
tal que
; pela continuidade,
será estritamente positiva num intervalo de medida positiva, dando
. Assim,
só ocorre para
.
Resposta
A aplicação
satisfaz bilinearidade, simetria e positividade definida, logo é um produto interno em
.