Verifique se as aplicações a seguir são produtos internos nos espaços vetoriais indicados.
lang<= f, grang<==integral0^1 f(t) cdot g(t) d t onde V=C^0([0,1] ; R) isto é V é o espaço vetorial das funções reais contínuas em [0, 1];

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
lang<= f,grang<==integral0^1f(t),g(t),dt
define um produto interno em V=C^0([0,1];R). Para isso, precisamos checar três propriedades: bilinearidade, simetria e positividade definida.

Passo 2

Bilinearidade em V significa que para quaisquer f1,f2,gin V e escalar alphainR vale
lang<= alpha f1+f2,,grang<= =integral0^1l(alpha f1(t)+f2(t)r),g(t),dt =alphaintegral0^1f1(t)g(t),dt +integral0^1f2(t)g(t),dt =alphalang<= f1,grang<=+lang<= f2,grang<=
Analogamente mostra-se linearidade no segundo argumento. Logo, é bilinear.

Passo 3

Simetria exige que lang<= f,grang<==lang<= g,frang<=. De fato,
lang<= f,grang<= =integral0^1f(t),g(t),dt =integral0^1g(t),f(t),dt =lang<= g,frang<=

Passo 4

Para positividade definida, precisamos de
  1. lang<= f,frang<=>= 0 para todo fin V.
  2. lang<= f,frang<==0 implica f=0.
    Como f é contínua em [0,1], f(t)^2>=0 e
lang<= f,frang<= =integral0^1f(t)^2,dt>=0
Se f não for a função zero, existe t0 tal que f(t0)neq0; pela continuidade, f(t)^2 será estritamente positiva num intervalo de medida positiva, dando integral0^1f(t)^2dt>0. Assim, lang<= f,frang<==0 só ocorre para f=0.

Resposta

A aplicação lang<= f,grang<==integral0^1f(t)g(t),dt satisfaz bilinearidade, simetria e positividade definida, logo é um produto interno em V.

Exercícios relacionados