Verifique quais dos 4 axiomas de produto interno são satisfeitas pelas seguintes operações sobre os vetores e de :
Caso :
Passo 1
O enunciado define em a aplicação
e pede verificar quais dos quatro axiomas de produto interno (1) aditividade em o primeiro argumento, (2) homogeneidade no primeiro argumento, (3) simetria e (4) positividade-definitude são satisfeitos.
Passo 2
Observe que
onde
Passo 3
Aditividade e homogeneidade (linearidade no primeiro argumento): como u^T A, v é bilinear, vale para quaisquer vetores u, w, v e escalar alpha:
lang<= u+ w, vrang<= =( u+ w)^T A, v = u^T A, v+ w^T A, v =lang<= u, vrang<=+lang<= w, vrang<=,
lang<= alpha u, vrang<= =(alpha u)^T A, v =alpha, u^T A, v =alphalang<= u, vrang<=
Logo, satisfaz axiomas (1) e (2).
Passo 4
Simetria: exigiríamos lang<= u, vrang<==lang<= v, urang<=, isto é A=A^T. Mas em A vemos a12=2 e a21=-5. Como 2neq -5,
lang<= u, vrang<=neqlang<= v, urang<=
em geral. Falha o axioma (3).
Passo 5
Positividade-definitude: precisaríamos lang<= u, urang<=>0 para todo uneq0. Mas para e2=(0,1,0) temos
lang<= e2, e2rang<= =-1<0,
violando a positividade. Logo falha o axioma (4).
Resposta
Satisfaz apenas os axiomas de aditividade e homogeneidade (1 e 2). Não satisfaz simetria nem positividade-definitude (3 e 4).