Verifique quais dos 4 axiomas de produto interno são satisfeitas pelas seguintes operações sobre os vetores boldsymbolu=(u1, ldots, un) e boldsymbolv=(v1, ldots, vn) de R^n :
Caso R^3 :
lang<=u, vrang<==3 u1 v1+2 u1 v2+u1 v3-5 u2 v1-u2 v2+u2 v3-u3 v1-2 u3 v2+u3 v3

Passo 1

O enunciado define em R^3 a aplicação
lang<= u, vrang<= =3u1v1+2u1v2+u1v3-5u2v1-u2v2+u2v3-u3v1-2u3v2+u3v3
e pede verificar quais dos quatro axiomas de produto interno (1) aditividade em o primeiro argumento, (2) homogeneidade no primeiro argumento, (3) simetria e (4) positividade-definitude são satisfeitos.

Passo 2

Observe que
lang<= u, vrang<== u^T A, v,
onde
A= 3 & 2 & 1 -5 & -1 & 1 -1 & -2 & 1

Passo 3

Aditividade e homogeneidade (linearidade no primeiro argumento): como u^T A, v é bilinear, vale para quaisquer vetores u, w, v e escalar alpha:
lang<= u+ w, vrang<= =( u+ w)^T A, v = u^T A, v+ w^T A, v =lang<= u, vrang<=+lang<= w, vrang<=,
lang<= alpha u, vrang<= =(alpha u)^T A, v =alpha, u^T A, v =alphalang<= u, vrang<=
Logo, satisfaz axiomas (1) e (2).

Passo 4

Simetria: exigiríamos lang<= u, vrang<==lang<= v, urang<=, isto é A=A^T. Mas em A vemos a12=2 e a21=-5. Como 2neq -5,
lang<= u, vrang<=neqlang<= v, urang<=
em geral. Falha o axioma (3).

Passo 5

Positividade-definitude: precisaríamos lang<= u, urang<=>0 para todo uneq0. Mas para e2=(0,1,0) temos
lang<= e2, e2rang<= =-1<0,
violando a positividade. Logo falha o axioma (4).

Resposta

Satisfaz apenas os axiomas de aditividade e homogeneidade (1 e 2). Não satisfaz simetria nem positividade-definitude (3 e 4).

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